Question

Тепловоз, используя 80 % максимальной мощности Nmax, ведет поезд массой m = 3000 т вверх по пути с уклоном a1 = 0,006 со скоростью u1 = 75 км/ч, а используя 40 % максимальной мощности, ведет тот же поезд по пути с уклоном a2 = 0,003 со скоростью u2 = 60 км/ч. Найти максимальную мощность тепловоза, а также коэффициент трения.

Answer 1

Процесс необходимо смоделировать Используем физическую модель равномерно движущегося вверх тела по наклонной плоскости с учетом силы трения.
Составляем уравнение 2-го закона динамики в проекциях на две координатные оси.
OX: F - Fтр. - gmx = 0 (1)
OY: T - gmy = 0 (2)
где:
F - сила тяги тепловоза, направлена вдоль наклонной плоскости
Fтр. - сила трения
gmx - проекция силы тяжести на ось ОХ
Т - реакция опоры
gmy - проекция силы тяжести на ось ОУ
gmx = gm*sin α
gmy = gm*cos α
T - gm*cos α = 0
T = gm*cos α
Fтр. = μT = μgm*cos α, подставляем в уравнение (1) и получаем
F - μgm*cos α - gm*sin α = 0 =>
F = gm*(μ*cos α + sin α)
N = F*u => N = u*gm*(μ*cos α + sin α)
Теперь поговорим об уклоне. Уклон - это отношение катета противолежащего острому углу прямоугольного треугольника к катету прилежащему к этому углу, другими словами уклон - тангенс угла наклона наклонной плоскости, т. е. tg α = a.
Т. к. уклоны малы, углы наклона менее 5°, а при таких углах sin α ≈ tg α, это пригодится в будущем.
Немного математики:
tg α = sin α / cos α => cos α = sin α / tg α
μ*cos α + sin α = μ*sin α / tg α + sin α = sin α / tg α * (μ + tg α) = μ + a
синус и тангенс сократились, т. к. равны, а tg α = а (уклон)
N = u*gm*(μ + a)
η = N / Nmax * 100 %
η₁ = N₁ / Nmax * 100 %
η₂ = N₂ / Nmax * 100 %
η₁ = u₁*gm*(μ + a₁) / Nmax * 100 % =>
Nmax = u₁*gm*(μ + a₁) / η₁ * 100 % (3)
η₂ = u₂*gm*(μ + a₂) / Nmax * 100 % =>
Nmax = u₂*gm*(μ + a₂) / η₂ * 100 % (4)
Приравниваем (3) и (4)
u₁*gm*(μ + a₁) / η₁ * 100 % = u₂*gm*(μ + a₂) / η₂ * 100 %
η₁*u₁(μ + a₁) = η₂*u₂(μ + a₂)
μ = (η₂*u₁*a₁ - η₁*u₂*a₂) / (η₁*u₂ - η₂*u₁) =
= (0,40*20,8 м/с*0,006 - 0,80*16,7 м/с*0,003) / (0,80*16,7 м/с - 0,40*20,8 м/с) = (0,050 - 0,040)/(13,4 - 8,32) = 0,002
Справка: коэффициент трения качения стального колеса по стали (0,001 - 0,05) ответ укладывается в диапазон.
Из уравнения (3) вычисляем:
Nmax = 9,81 м/с²*3*10⁶ кг*20,8 м/с*(0,002 + 0,006) / 0,80 =
= 6,12*10⁶ Вт = 6,12 МВт ≈ 8300 л. с.