Question

С вершины наклонной плоскости начинает скользить тело без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту 30°, а её длина равна 12 м. Коэффициент трения 0,15. Сколько времени продолжается движение тела по наклонной плоскости ?

Answer 1

$t^2 = \dfrac{2l}{a}$, где $a$ — ускорение тела.

Из динамики это самое ускорение легко находится:
$ma = mg \sin \alpha - F_{T} = mg \sin \alpha - \mu N = mg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

(легко проверить, что $\mathrm{tg} \: \alpha \ \textgreater \ \mu$)

Подставляем, получаем
$t = \sqrt{\dfrac{2l}{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 12}{10 \cdot \left(0{,}5 - 0{,}15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}} \approx \sqrt{6{,}4} \approx 2{,}53$ (с)

ответ: 2,53 с

Answer 2

Для решения данной задачи будем использовать законы динамики и уравнение движения по наклонной плоскости.

Известно, что сила трения Fтр = μ * N, где μ - коэффициент трения, а N - сила давления (N = m * g, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения).

Сила трения направлена вдоль плоскости наклона и противоположна движению, поэтому можно записать уравнение второго закона Ньютона: m * a = m * g * sin(θ) - μ * m * g * cos(θ), где a - ускорение тела, θ - угол наклона плоскости.

Учитывая, что a = dV/dt (где dV - изменение скорости, dt - изменение времени), можно переписать уравнение в виде: m * dV/dt = m * g * sin(θ) - μ * m * g * cos(θ).

Для решения задачи нам потребуется выразить dt. Для этого мы можем использовать формулу с начальной скоростью V0 и конечной скоростью V: V - V0 = a * dt.

Так как начальная скорость равна нулю (тело скользит без начальной скорости), то уравнение примет вид: V = a * dt.

Используя ранее полученное уравнение m * dV/dt = m * g * sin(θ) - μ * m * g * cos(θ) и замену V = a * dt, получаем:

m * a * dt = m * g * sin(θ) - μ * m * g * cos(θ).

m * a * dt = m * g * (sin(θ) - μ * cos(θ)).

dt = (m * g * (sin(θ) - μ * cos(θ))) / (m * a).

Заметим, что m сокращаются. Теперь мы можем вычислить время dt для движения тела по наклонной плоскости.

В нашем случае, угол наклона плоскости θ = 30°, длина плоскости L = 12 м, и коэффициент трения μ = 0,15.

Примем массу тела m = 1 кг, так как масса не указана в условии задачи.

Ускорение свободного падения возьмем равным g ≈ 9,8 м/с².

Вычислим силу трения:

Fтр = μ * N = μ * m * g = 0,15 * 1 * 9,8 ≈ 1,47 Н.

Теперь вычислим проекции силы g на плоскость и перпендикулярно плоскости:

g∥ = g * cos(θ) = 9,8 * cos(30°) ≈ 8,49 м/с²,

g⊥ = g * sin(θ) = 9,8 * sin(30°) ≈ 4,9 м/с².

Подставим полученные значения в уравнение для времени dt:

dt = (m * g * (sin(θ) - μ * cos(θ))) / (m * a) = (1 * 9,8 * (4,9 - 0,15 * 8,49)) / (1 * a).

Здесь нам нужно знать ускорение a, которое можно вычислить, используя уравнение F = m * a.

Сила, действующая вдоль плоскости, состоит из силы тяжести, направленной вдоль плоскости (Ftg = m * g * sin(θ)), и силы трения, противодействующей движению (Fтр = μ * m * g * cos(θ)):

F∥ = Ftg - Fтр = m * g * sin(θ) - μ * m * g * cos(θ).

Подставим полученное значение силы в уравнение F = m * a:

F = m * a,

m * g * (sin(θ) - μ * cos(θ)) = m * a.

m сокращаются, и получаем значение ускорения a:

a = g * (sin(θ) - μ * cos(θ)).

Подставим значение ускорения в уравнение для времени dt:

dt = (1 * 9,8 * (4,9 - 0,15 * 8,49)) / (1 * (9,8 * (sin(30°) - 0,15 * cos(30°))))

dt ≈ (9,8 * (4,9 - 0,15 * 8,49)) / (9,8 * (0,5 - 0,15 * 0,87)).

dt ≈ (9,8 * (4,9 - 0,15 * 8,49)) / (9,8 * (0,5 - 0,1305))

dt ≈ (9,8 * (4,9 - 1,2735)) / (9,8 * (0,5 - 0,1305))

dt ≈ (9,8 * 3,6265) / (9,8 * 0,3695)

dt ≈ 35,6017 / 3,6253

dt ≈ 9,8067 с.

Ответ: Движение тела продолжается примерно 9,8 секунд.