Question

.Амплитуда колебания груза ан пружине равна 3 см. Каков путь от положения равновесия пройдет груз за 1/4 Т, 1/2 Т, 3/4Т, Т?

Answer 1

1) 3 см
2) 6 см
3) 9 см
4) 12 см

Answer 2

Для того чтобы ответить на ваш вопрос, давайте введем некоторые обозначения:

- \( A \) - амплитуда колебания (в данном случае, 3 см). - \( T \) - период колебаний (время, за которое груз совершает один полный цикл колебаний).

Амплитуда колебания груза на пружине описывается функцией синуса или косинуса в зависимости от начальных условий. Обычно принято использовать косинус, если груз начинает движение из положения равновесия.

Уравнение для описания колебаний можно записать следующим образом:

\[ x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) \]

где: - \( x(t) \) - положение груза в момент времени \( t \).

Теперь, чтобы рассчитать положение груза в моменты времени \( \frac{1}{4} T, \frac{1}{2} T, \frac{3}{4} T \) и \( T \), подставим соответствующие значения времени в уравнение.

1. \( t = \frac{1}{4} T \):

\[ x\left(\frac{1}{4} T\right) = A \cos\left(\frac{2\pi \cdot \frac{1}{4} T}{T}\right) \]

2. \( t = \frac{1}{2} T \):

\[ x\left(\frac{1}{2} T\right) = A \cos\left(\frac{2\pi \cdot \frac{1}{2} T}{T}\right) \]

3. \( t = \frac{3}{4} T \):

\[ x\left(\frac{3}{4} T\right) = A \cos\left(\frac{2\pi \cdot \frac{3}{4} T}{T}\right) \]

4. \( t = T \):

\[ x(T) = A \cos\left(\frac{2\pi \cdot T}{T}\right) \]

Теперь подставим \( A = 3 \) см и проведем вычисления для каждого из моментов времени. Обратите внимание, что \( \cos(2\pi) = \cos(0) = 1 \), поэтому некоторые значения упростятся:

1. \( x\left(\frac{1}{4} T\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) (груз находится в положении равновесия).

2. \( x\left(\frac{1}{2} T\right) = 3 \cos(\pi) = -3 \) (груз находится в крайней нижней точке).

3. \( x\left(\frac{3}{4} T\right) = 3 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \) (груз снова в положении равновесия).

4. \( x(T) = 3 \cos(2\pi) = 3 \) (груз возвращается в исходное положение).

Таким образом, путь груза от положения равновесия будет следующим: \[ 0 \, \text{см} \rightarrow -3 \, \text{см} \rightarrow 0 \, \text{см} \rightarrow 3 \, \text{см} \] за времена \( \frac{1}{4} T, \frac{1}{2} T, \frac{3}{4} T \) и \( T \) соответственно.