Question

Толстостенное кольцо с радиусами R1=10 и R2=20 колеблется около горизонтальной оси, отстоящей от центра кольца на расстоянии d=R1. Определить период колебаний такого маятника.

Answer 1

Считаю, что радиусы даны в см:
T=2*pi*sqrt(J/m*g*a)(1)   J=m*(R2^2-R1^2)/2(2)    a=R1(3)
Подставим 2 и 3 в 1:
T=2*pi*sqrt(R2^2-R1^2)/2*g*R1)=6,28*(0,04-0,01)/10*0,1)=1,09 c

Answer 2

Чтобы определить период колебаний толстостенного кольца, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, давайте воспользуемся моментом инерции и уравнением колебательного движения. Предположим, что момент инерции кольца относительно оси вращения равен \(I\), а угловое смещение от положения равновесия в момент времени \(t\) равно \(\theta(t)\).

Уравнение движения для такого маятника можно записать в виде:

\[I \cdot \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgR \cdot \sin(\theta)\]

где: - \(I\) - момент инерции кольца относительно оси вращения, - \(m\) - масса кольца, - \(g\) - ускорение свободного падения, - \(R\) - расстояние от центра кольца до оси вращения, - \(\theta\) - угол отклонения от положения равновесия.

Для толстостенного кольца момент инерции относительно его диаметральной оси (проходящей через центр кольца) равен \(I = \frac{1}{2}mR^2\), где \(m\) - масса кольца.

Теперь мы можем записать уравнение колебательного движения:

\[\frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgR \cdot \sin(\theta)\]

Масса \(m\) отсекается, и уравнение принимает следующий вид:

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{2g}{R} \cdot \sin(\theta)\]

Это уравнение дифференциального движения второго порядка, которое описывает колебания толстостенного кольца. Решение этого уравнения зависит от начальных условий (начального положения и начальной скорости), и общее решение может быть сложным.

Однако, для малых углов отклонения (\(\theta\)), \(\sin(\theta)\) приближенно равно \(\theta\), поэтому уравнение упрощается до уравнения гармонического осциллятора:

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{2g}{R} \cdot \theta\]

Это уравнение имеет решение в виде:

\[\theta(t) = \theta_0 \cdot \cos\left(\sqrt{\frac{2g}{R}} \cdot t\right)\]

где \(\theta_0\) - начальный угол отклонения.

Период колебаний можно выразить как:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{2g}}\]

Таким образом, период колебаний толстостенного кольца зависит от радиуса кольца и ускорения свободного падения.