Question

Две концентрические проводящие сферы с радиусами R и 2R заряжены соответственно зарядами 0,1 мкКл и 0,2 мкКл. На равном расстоянии от поверхности каждой из сфер (в пространстве между ними) в точке М потенциал равен 3 кВ. Найти радиусы сфер.

Answer 1

Внутренняя сфера имеет радиус R
наружная сфера имеет радиус 2R
средняя точка расположена на расстоянии 3R/2 от центра симметрии
потенциал внутренней сферы в точке 3R/2
fi1 =k* Q1/ (3R/2) = k* Q1*2 / (3R)
потенциал наружной сферы в точке 3R/2
fi2 = k* Q2/ (2R)
U = fi1+fi2 = k* Q1*2 / (3R) + k* Q2/ (2R) = k/R * (Q1*2/3 + Q2/2)
R = k/U * (Q1*2/3 + Q2/2)= 8,99*10^11/3000 * (0,1*10^(-6)*2/3 + 0,2*10^(-6)/2) = 49,94444 м ~ 50 м - радиус внутренней сферы
2R  ~ 100 м - радиус внешней сферы

Answer 2

Описание задачи: У нас есть две концентрические проводящие сферы с радиусами R и 2R, которые заряжены соответственно зарядами 0,1 мкКл и 0,2 мкКл. На равном расстоянии от поверхности каждой из сфер, в пространстве между ними, в точке М потенциал равен 3 кВ. Нам нужно найти радиусы сфер.

Решение: Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для потенциала точечного заряда вне проводящей сферы:

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$$

где - V - потенциал точки, - q - заряд точки, - r - расстояние от точки до заряда, - $\epsilon_0$ - электрическая постоянная ($8.85 \times 10^{-12}$ Ф/м).

В нашей задаче у нас есть два заряда и две сферы. Мы знаем потенциал точки М и заряды сфер, поэтому мы можем записать два уравнения:

$$V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_1}$$ $$V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_2}$$

где - $V_1$ и $V_2$ - потенциалы точки М относительно первой и второй сфер соответственно, - $q_1$ и $q_2$ - заряды первой и второй сфер соответственно, - $r_1$ и $r_2$ - расстояния от точки М до первой и второй сфер соответственно.

Мы также знаем, что точка М находится на равном расстоянии от поверхности каждой из сфер, поэтому $r_1 = R$ и $r_2 = 2R$.

Подставляя известные значения в уравнения, мы получаем:

$$3000 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{0.1 \times 10^{-6}}{R}$$ $$3000 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{0.2 \times 10^{-6}}{2R}$$

Теперь мы можем решить эти уравнения для R.

Решение уравнений:

1. Уравнение 1: $$3000 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{0.1 \times 10^{-6}}{R}$$

Умножим обе стороны на $4\pi\epsilon_0$ и поделим на 0.1:

$$3000 \times 4\pi\epsilon_0 = \frac{1}{R}$$

$$R = \frac{1}{3000 \times 4\pi\epsilon_0}$$

2. Уравнение 2: $$3000 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{0.2 \times 10^{-6}}{2R}$$

Умножим обе стороны на $4\pi\epsilon_0$ и поделим на 0.2:

$$3000 \times 4\pi\epsilon_0 = \frac{1}{2R}$$

$$2R = \frac{1}{3000 \times 4\pi\epsilon_0}$$

Теперь, зная значение R, мы можем найти радиусы сфер:

$$R = \frac{1}{3000 \times 4\pi\epsilon_0}$$

$$2R = \frac{1}{3000 \times 4\pi\epsilon_0} \times 2$$

Ответ: Радиус первой сферы R = 2.39 м. Радиус второй сферы 2R = 4.78 м.