Question

На главной оптической оси на расстоянии см от линзы с фокусным расстоянием м расположен источник света. Линзу повернули на угол , оставив источник света на том же месте так, что изображение источника света сместилось на см от первоначального. Найдите угол . Сделайте полное решение С РИСУНКОМ и полным математическим решением. Спасибо!

Answer 1

Ответ:

26

Объяснение:

Решение.

1.  По условию задачи расстояние от светящейся точки до линзы равно 40 см, фокусное расстояние 20 см, т. е. точка находилась на расстоянии 2F от линзы. Следовательно, ее изображение должно быть на расстоянии 2F от линзы.    

2.  По рисунку видно, что расстояние от точки до линзы в новом ее положении стало равным d1 = d cos a  = 2F cos a , а расстояние от линзы до изображения стало равным f1 (2F + дельта f) cos a .

Запишем формулу тонкой линзы для нового изображения светящейся точки:

1/d1  +  1/f1  = 1/F

1/(2Fcos a)  +  1/(2F+дельтаf) cos a  = 1/F

Отсюда находим искомый угол

cos a = (4F + дельта f) / 2(2F +дельта f) = (4*20 +10) / 2(2*20+10) = 0.9

a = arccos 0.9  примерно = 26 градусам.

Answer 2

К сожалению, я не могу создавать изображения или рисунки, но я могу предоставить вам полное математическое решение вашей задачи.

У нас есть линза с фокусным расстоянием \( f \) и источник света на расстоянии \( a \) от линзы. Когда линзу поворачивают на угол \( \theta \), изображение источника смещается на расстояние \( b \) от первоначального положения.

Для начала, нам нужно использовать тонкую линзу. Формула тонкой линзы дает нам соотношение между расстояниями до линзы, после линзы и фокусным расстоянием:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \]

Из условия задачи нам известно, что линза повернута на угол \( \theta \) и изображение сместилось на расстояние \( b \). Так как углы малы, мы можем использовать приближение \( \tan(\theta) \approx \theta \) для малых углов.

Рассмотрим конструкцию лучей. Пусть \( O \) - центр линзы, \( F \) - фокус, \( A \) - исходное положение источника света, \( B \) - его изображение после поворота линзы, \( C \) - новое положение источника света.

\[ \begin{align*} &\text{ОЛ} = a, \quad \text{FL} = f \\ &\text{ОБ} = b, \quad \text{ФБ} = f \end{align*} \]

Из рисунка мы можем увидеть, что \( \text{ОБ} = \text{ОФ} - \text{ФБ} \). Таким образом:

\[ a + b = f + f \quad \Rightarrow \quad b = 2f - a \]

Теперь подставим это выражение для \( b \) в уравнение тонкой линзы:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{2f - a} \]

Умножим обе части уравнения на \( af(2f - a) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ a(2f - a) = f(2f - a) + af \\ 2af - a^2 = 2f^2 - af \\ 3af = a^2 + 2f^2 \\ 3f = \frac{a}{3} + \frac{2f^2}{a} \]

Отсюда мы можем выразить \( \frac{a}{f} \):

\[ \frac{a}{f} = 3 - \frac{2f^2}{a^2} \]

Теперь, если \( \frac{a}{f} = x \), то:

\[ x = 3 - \frac{2}{x^2} \quad \Rightarrow \quad x^3 - 3x^2 - 2 = 0 \]

Это кубическое уравнение, которое можно решить численными методами или методом Кардано для нахождения \( x \), а затем \( \frac{a}{f} \) и \( \theta \). К сожалению, конкретное численное значение \( \theta \) я не могу предоставить без конкретных численных данных для \( a \) и \( f \).