Question

СРОЧНО Точки Р і К розміщені по різні боки від прямої АВ так, що АР = АК, РВ - КВ. Довести, що бісектриси BCi BD трикутників АВР тАК рівні. ​

Answer 1

Відповідь:

Для доведення рівності бісектрис треба розглянути трикутники АВР і АКР, а також трикутники АВР і АРВ.

1. Розглянемо трикутник АВР і трикутник АКР:

За умовою АР = АК (однакова відстань від точки А до точок Р і К).

Також РВ = КВ (за умовою РВ - КВ).

Згідно теореми, яка стверджує, що якщо дві сторони трикутника рівні двом сторонам іншого трикутника, а також кут між ними рівний, то ці трикутники рівні, маємо:

Трикутник АВР ≡ Трикутник АКР (за правилом SSS).

2. Розглянемо трикутник АВР і трикутник АРВ:

За умовою АР = АК (однакова відстань від точки А до точок Р і К).

Також РВ = КВ (за умовою РВ - КВ).

Кут А також А = А (тупий кут).

Згідно теореми, яка стверджує, що якщо дві сторони трикутника рівні двом сторонам іншого трикутника, а також кут між ними рівний, то ці трикутники рівні, маємо:

Трикутник АВР ≡ Трикутник АРВ (за правилом SAS).

Отже, ми довели, що бісектриси BC і BD трикутників АВР та АКР є рівними.

Answer 2

Для доведення рівності бісектрис треба використати властивості бісектрис трикутника та використати дані, що АР = АК, РВ = КВ.

Властивості бісектрис трикутника:

1. Бісектриса трикутника ділить протилежний йому кут на два рівні кути. 2. Бісектриса трикутника перпендикулярна до протилежного йому боку.

Доведення рівності бісектрис:

1. Позначимо точку перетину бісектрис BCi та BD як точку О. 2. Оскільки АР = АК, РВ = КВ, то АР = РВ. 3. За властивістю бісектриси, кут АРО = кут РОВ. 4. За властивістю бісектриси, кут АКО = кут КОВ. 5. Оскільки кути АРО і АКО рівні кутам РОВ і КОВ, вони також рівні між собою. 6. Отже, бісектриси BCi та BD трикутників АВР та АКВ рівні.

Таким чином, було доведено, що бісектриси BCi та BD трикутників АВР та АКВ рівні.