Question

Запишіть рівняння руху, проекції швидкості, проекції прискорення, якщо амплітуда коливань 8 см, а період - 2с

Answer 1

Для запису рівняння руху необхідно знати в якій системі координат відбувається коливання. Оскільки немає вказівки, предположимо що коливання відбуваються в горизонтальній площині.

Нech x(t) буде положенням тіла відносно початкової точки в момент часу t. Тоді, коли тіло знаходиться в положенні x(t), амплітуда коливань дорівнює максимальній відстані від початкової точки. Оскільки амплітуда коливань становить 8 см, максимальне відхилення тіла від початкової точки буде 8 см у кожному напрямку. Таким чином, коли тіло знаходиться в положенні x(t), -8 ≤ x(t) ≤ 8.

Коли період коливання дорівнює 2 с, це означає, що тіло повторює своє положення кожні 2 секунди. Тобто x(t + 2) = x(t) для будь-якого t.

Запишемо рівняння руху коливання: x(t) = A * cos(2π/T * t + φ)

де: x(t) - положення тіла відносно початкової точки в момент часу t A - амплітуда коливань (8 см) T - період коливань (2 с) φ - фаза початку коливань (може бути будь-яким значенням)

Тепер запишемо проекції швидкості і прискорення:

Для проекції швидкості ми використовуємо похідну положення за часом: v(t) = dx(t)/dt = -A * (2π/T) * sin(2π/T * t + φ)

Для проекції прискорення ми використовуємо похідну швидкості за часом: a(t) = dv(t)/dt = -A * (2π/T)^2 * cos(2π/T * t + φ)

Отже, рівняння руху коливань з амплітудою 8 см і періодом 2 с має вигляд: x(t) = 8 * cos((2π/2) * t + φ)

для проекції швидкості: v(t) = -8 * (2π/2) * sin((2π/2) * t + φ)

і для проекції прискорення: a(t) = -8 * (2π/2)^2 * cos((2π/2) * t + φ)

Де φ - фаза початку коливань, яка може бути будь-яким значенням, оскільки вона впливає на положення тіла у початковий момент часу.