Question

Ідеальний одноатомний газ виконує замкнений цикл з двох ізохорних і двох ізобарних процесів. При ізохорному нагріванні тиск збільшується в два рази, а при ізобарному нагріванні об'єм збільшується на 70%. Знайдіть ККД циклу.

Answer 1

Для знаходження ККД циклу потрібно спочатку знайти роботу, виконану газом під час циклу. Робота, виконана газом під час ізохорного процесу, дорівнює нулю, оскільки об'єм залишається постійним. Робота, виконана газом під час ізобарного процесу, може бути знайдена за формулою:

W = PΔV = P(V2 - V1),

де P - тиск, ΔV = V2 - V1 - зміна об'єму, V1 - початковий об'єм, V2 - кінцевий об'єм.

При ізобарному нагріванні об'єм збільшується на 70%, тому кінцевий об'єм V2 = 1.7V1. При ізохорному процесі зміна об'єму дорівнює нулю, тому робота, виконана газом під час цього процесу, дорівнює нулю. Таким чином, робота, виконана газом під час циклу, дорівнює роботі, виконаній газом під час ізобарного процесу:

W = P(V2 - V1) = P(1.7V1 - V1) = 0.7PV1.

За законом збереження енергії робота, виконана газом під час циклу, дорівнює різниці теплоємностей газу при двох температурах, помноженій на різницю температур:

W = C1(T2 - T1) - C2(T4 - T3),

де C1 і C2 - теплоємності газу при постійному об'ємі і постійному тиску відповідно, T1 і T3 - початкові температури, T2 і T4 - кінцеві температури.

Цикл складається з двох ізохорних і двох ізобарних процесів. Тому температура газу збільшується вдвічі під час ізохорного нагрівання і збільшується на 70% під час ізобарного нагрівання. Таким чином, кінцева температура T2 дорівнює 2T1, а кінцева температура T4 дорівнює 1.7T3. Початкова і кінцева температури при ізохорному процесі співпадають.

Теплоємності газу можуть бути знайдені з використанням ідеального газового закону:

C1 = (5/2)R, C2 = (7/2)R,

де R - універсальна газова стала.

Таким чином, ми можемо записати:

0.7PV1 = (5/2)R(T2 - T1) - (7/2)R(T4 - T3).

Звідси можна виразити ККД циклу:

η = W/Q1 = (C1 - C2)(T2 - T1) / (C1(T2 - T1) - C2(T4 - T3)),

де Q1 - теплота, подана до системи під час ізохорного нагрівання.

Підставляючи вирази для C1, C2, T1, T2, T3 і T4, ми отримуємо:

η = (5/2 - 7/2)(2T1 - T1) / ((5/2)(2T1 - T1) - (7/2)(1.7T1 - T1)) = 0.4.

Отже, ККД циклу дорівнює 0.4 або 40%.

Answer 2

Для знаходження коефіцієнта корисної дії (ККД) циклу, використовують вираз:

\[ \text{ККД} = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \]

де \( T_c \) - температура нагрівання, а \( T_h \) - температура охолодження, вимірюються в абсолютних одиницях, таких як кельвіни.

Зазначимо, що для ідеального одноатомного газу взаємозв'язок між тиском (\( P \)), об'ємом (\( V \)), і температурою (\( T \)) може бути виражений рівнянням стану:

\[ PV = nRT, \]

де \( n \) - кількість молекул газу, а \( R \) - універсальна газова стала.

Тепер розглянемо ізохорний процес (зміна об'єму при постійному об'ємі). З ізохоричних умов \( V_1 = V_2 \), і за виразом рівняння стану, отримаємо:

\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}. \]

Далі, для ізобарного процесу (зміна тиску при постійному тиску), ми отримаємо:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}. \]

Тепер можемо використовувати дані про тиск та об'єм для розв'язання задачі. Дано, що при ізохорному нагріванні тиск збільшується вдвічі (тобто \( P_2 = 2P_1 \)), а при ізобарному нагріванні об'єм збільшується на 70% (тобто \( V_2 = 1.7V_1 \)).

Тепер можна використовувати ці величини для визначення температур в кінці кожного процесу. Наприклад, для ізохорного процесу:

\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{2P_1}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{T_1}{2}. \]

А для ізобарного процесу:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{1.7V_1}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{1.7}{2}T_1. \]

Тепер можна підставити ці значення температур в формулу для ККД та розрахувати його:

\[ \text{ККД} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{T_1}{T_2}. \]

Після підставлення числових значень, ви отримаєте коефіцієнт корисної дії цього циклу.