Question

Визначити, у скільки разів густина повітря на карпатській горі Парашці (висота 1262 м над рівнем моря) менша, ніж на рівні моря. Температура повітря 290 К стала у всьому діапазон і висот.

Answer 1

Для визначення впливу висоти на густину повітря можна скористатися ідеальним газовим законом, який визначає залежність між тиском, об'ємом та температурою газу. Закон виглядає наступним чином:

\[PV = nRT,\]

де: - \(P\) - тиск газу, - \(V\) - об'єм газу, - \(n\) - кількість молекул газу, - \(R\) - універсальна газова стала, - \(T\) - температура газу в абсолютних одиницях (Кельвінах).

Для порівняння густини повітря на рівні моря та на висоті Карпатської гори Парашці (1262 м над рівнем моря), можемо розглядати об'єм одиничної маси газу (густину) при однаковому тиску і кількості молекул. Тобто:

\[ \dfrac{{P_1 \cdot V_1}}{{n \cdot R \cdot T_1}} = \dfrac{{P_2 \cdot V_2}}{{n \cdot R \cdot T_2}}, \]

де індекси 1 та 2 відповідають рівню моря та висоті гори відповідно.

Так як у задачі порівнюється густина, можемо відкинути константи \(n\) та \(R\):

\[ \dfrac{{P_1 \cdot V_1}}{{T_1}} = \dfrac{{P_2 \cdot V_2}}{{T_2}}. \]

Ми також можемо використовувати співвідношення між об'ємом та густини, яке виглядає так:

\[ V = \dfrac{m}{\rho}, \]

де \(m\) - маса, \(\rho\) - густина.

Підставимо це співвідношення в рівняння ідеального газу:

\[ \dfrac{{P_1 \cdot m_1}}{{\rho_1 \cdot T_1}} = \dfrac{{P_2 \cdot m_2}}{{\rho_2 \cdot T_2}}, \]

де \(m_1\) та \(m_2\) - маси одиничного об'єму газу на рівні моря та на висоті відповідно, а \(\rho_1\) та \(\rho_2\) - їх густини.

Ми шукаємо вираз для відношення густин на висоті до густини на рівні моря, тобто \(\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\).

З усього вищесказаного виходить:

\[ \dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{P_2 \cdot T_1 \cdot \rho_1}{P_1 \cdot T_2 \cdot \rho_2}. \]

Температура повітря в абсолютних одиницях (Кельвінах) задана як 290 К. Температура знижується при зростанні висоти, тому можна прийняти, що температура на висоті менша, а отже \(T_2 < T_1\).

Також можна припустити, що тиск повітря на висоті менший, тобто \(P_2 < P_1\).

Підставимо ці припущення в рівняння:

\[ \dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{P_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot T_2}. \]

З рівняння ідеального газу, можна виразити тиск як густину помножити на температуру, отже \(P \propto \rho \cdot T\). Підставимо це в рівняння:

\[ \dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{\rho_2 \cdot T_1}{\rho_1 \cdot T_2}. \]

Спростимо вираз, ділячи обидві сторони на \(\rho_2\):

\[ 1 = \dfrac{T_1}{T_2}. \]

Таким чином, густина повітря на висоті Карпатської гори Парашці буде в \( \dfrac{T_1}{T_2} \) разів меншою, ніж на рівні моря.

Підставимо дані:

\[ \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{290 \, \text{K}}{T_2}. \]

Тепер ми не маємо конкретної температури на висоті, тому не можемо точно визначити відношення густин. Але залишається фактом, що при зростанні висоти густину повітря зменшується, і в даному випадку це зменшення буде пропорційне температурі.