Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Радіус однієї планети більший від радіуса іншої в 2 рази. Середні густини планет рівні. Порівняйте перші космічні швидкості на поверхнях планет.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Дано

R1=2R2

p1=p2=p

v1/v2-?

$v=\sqrt{\frac{GM}{R} }\\ M=pV\\V=\frac{4}{3} \pi R^{3} \\\\\frac{v1}{v2} =\sqrt{\frac{Gp4*8R^{3} *3*R*\pi }{3Gp4R^{3}*R*\pi } } =\sqrt{8} =2\sqrt{2}$

Answer 2

Перша космічна швидкість (V1) на поверхні планети залежить від її радіуса (R1) та густини (ρ1) і визначається за формулою:

\[ V1 = \sqrt{\frac{{2G \cdot M1}}{{R1}}} \]

де \( G \) - гравітаційна постійна, а \( M1 \) - маса планети. Так як маса планети пропорційна об'єму (який залежить від радіуса) і густини, ми можемо записати, що \( M1 = \frac{{4}}{{3}}\pi R1^3 \rho1 \).

Припустимо, що друга планета має радіус \( R2 \), тоді маса другої планети \( M2 = \frac{{4}}{{3}}\pi R2^3 \rho1 \), оскільки густини рівні за умовою.

Друга космічна швидкість (V2) для другої планети буде:

\[ V2 = \sqrt{\frac{{2G \cdot M2}}{{R2}}} \]

За умовою задачі відомо, що радіус однієї планети більший від радіуса іншої в 2 рази, тобто \( R2 = \frac{{R1}}{{2}} \).

Підставимо значення мас і радіусів для обох планет у формулу для другої космічної швидкості:

\[ V2 = \sqrt{\frac{{2G \cdot \left(\frac{{4}}{{3}}\pi \cdot \frac{{R2^3}}{{2^3}} \cdot \rho1\right)}}{{\frac{{R1}}{{2}}}} \]

Спростимо вираз:

\[ V2 = \sqrt{\frac{{2G \cdot \left(\frac{{4}}{{3}}\pi \cdot \frac{{R1^3}}{{2^3}} \cdot \rho1\right)}}{{\frac{{R1}}{{2}}}} \]

\[ V2 = \sqrt{\frac{{2G \cdot \left(\frac{{1}}{{3}}\pi \cdot R1^3 \cdot \rho1\right)}}{{\frac{{R1}}{{2}}}} \]

\[ V2 = \sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^3 \cdot \rho1}}{{3R1}}} \]

\[ V2 = \sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}} \]

Тепер порівняємо дві космічні швидкості, враховуючи, що \( V1 \) і \( V2 \) залежать від \( R1 \) та \( \rho1 \):

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \frac{{\sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}}}}{{\sqrt{\frac{{2G \cdot \pi \cdot R1^3 \cdot \rho1}}{{R1}}}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \frac{{\sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}}}}{{\sqrt{\frac{{2G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}} \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{\frac{{2G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}{{3}}} \cdot \sqrt{\frac{{3}}{{2G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \sqrt{\frac{{4G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1 \cdot 3}}{{2G \cdot \pi \cdot R1^2 \cdot \rho1}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \sqrt{\frac{{12}}{{2}}} \]

\[ \frac{{V2}}{{V1}} = \sqrt{6} \]

Таким чином, відношення другої космічної швидкості до першої на поверхнях планет дорівнює \(\sqrt{6}\) або приблизно 2,45.