Question

Рухи двох автомобілів по шосе описуються рівняннями: x=2t+0,2t 2 і x=80-4t. Описати картину руху визначити час і місце зустрічі автомобілів; відстань між ними через 5 с, координату першого автомобіля в той момент часу, коли другий перебував в початку відліку?

Answer 1

Для опису руху двох автомобілів, використаємо рівняння x=2t+0,2t^2 для першого автомобіля та x=80-4t для другого.

1. Щоб знайти час і місце їх зустрічі, рівняння обидвох автомобілів рівні одне одному:

2t+0,2t^2 = 80-4t

Поділимо обидві сторони на 0,2:

t^2 + 10t - 80 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння. Можна використовувати дискримінант:

D = b^2 - 4ac

D = 10^2 - 4 * 1 * (-80)

D = 100 + 320

D = 420

Тепер знайдемо два корені за допомогою формули квадратного рівняння:

t1 = (-b + √D) / (2a)
t2 = (-b - √D) / (2a)

t1 = (-10 + √420) / (2)
t2 = (-10 - √420) / (2)

t1 ≈ 3.16 секунд
t2 ≈ -13.16 секунд

Отже, t1 відповідає моменту зустрічі автомобілів.

2. Щоб знайти відстань між автомобілями через 5 секунд (тобто в t = 5 секундах), підставимо t = 5 в обидва рівняння:

Для першого автомобіля:
x1 = 2t + 0.2t^2
x1 = 2 * 5 + 0.2 * 5^2
x1 = 10 + 5
x1 = 15 км

Для другого автомобіля:
x2 = 80 - 4t
x2 = 80 - 4 * 5
x2 = 80 - 20
x2 = 60 км

Отже, відстань між автомобілями через 5 секунд становить 15 км.

3. Щоб знайти координату першого автомобіля в момент часу, коли другий перебував в початку відліку (x2 = 0), підставимо x2 = 0 в рівняння для другого автомобіля:

0 = 80 - 4t

4t = 80

t = 20 секунд

Тепер підставимо t = 20 секунд в рівняння для першого автомобіля:

x1 = 2t + 0.2t^2
x1 = 2 * 20 + 0.2 * 20^2
x1 = 40 + 40
x1 = 80 км

Отже, координата першого автомобіля в момент часу, коли другий автомобіль перебував в початку відліку, дорівнює 80 км.

Answer 2

Ответ:

Для визначення часу і місця зустрічі автомобілів, ми повинні вирішити систему рівнянь:

1. x₁ = 2t + 0,2t²

2. x₂ = 80 - 4t

Давайте спростимо це. Спочатку розв'яжемо перше рівняння для x₁:

x₁ = 2t + 0,2t²

Тепер розв'яжемо друге рівняння для x₂:

x₂ = 80 - 4t

Ми шукаємо момент, коли x₁ = x₂, тобто:

2t + 0,2t² = 80 - 4t

Тепер спростимо це рівняння:

0,2t² + 6t - 80 = 0

Далі ми можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження значення t. Використовуючи квадратну формулу:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку a = 0,2, b = 6, і c = -80. Підставимо ці значення і знайдемо два можливих значення t.

Сперше:

t₁ = (-6 + √(6² - 4 * 0,2 * (-80))) / (2 * 0,2)

Та друге:

t₂ = (-6 - √(6² - 4 * 0,2 * (-80))) / (2 * 0,2)

Обчисліть значення t₁ і t₂.

Якщо t₁ і t₂ є дійсними і відповідають ситуації зустрічі автомобілів, то ми можемо визначити x₁ і x₂ для цих моментів.

Після цього, ви зможете визначити відстань між автомобілями через 5 секунд і координату першого автомобіля в той момент, коли другий перебував в початку відліку.

Answer 3

Давайте розглянемо рівняння руху двох автомобілів:

1. Перше авто: \( x = 2t^2 + 0.2t^2 \) 2. Друге авто: \( x = 80 - 4t \)

Ми хочемо знайти час і місце зустрічі автомобілів. Щоб це зробити, прирівняємо обидва вирази:

\[ 2t^2 + 0.2t^2 = 80 - 4t \]

Спростимо рівняння:

\[ 2.2t^2 + 4t - 80 = 0 \]

Тепер можемо використовувати квадратне рівняння, наприклад, за допомогою коефіцієнтів \( a = 2.2 \), \( b = 4 \) і \( c = -80 \).

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Підставимо значення:

\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2.2 \cdot (-80)}}{2 \cdot 2.2} \]

Спростимо це:

\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 704}}{4.4} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{720}}{4.4} \] \[ t = \frac{-4 \pm 12\sqrt{5}}{4.4} \]

Отже, отримуємо два значення для часу \( t \):

\[ t_1 = \frac{-4 + 12\sqrt{5}}{4.4} \] \[ t_2 = \frac{-4 - 12\sqrt{5}}{4.4} \]

Обираємо позитивне значення, оскільки час не може бути від'ємним:

\[ t \approx 3.39 \]

Тепер, коли ми маємо час, можемо використовувати його, щоб знайти відстань між автомобілями і їхні координати.

Відстань між автомобілями через 5 секунд:

\[ x_1(5) - x_2(5) \] \[ (2 \cdot (5)^2 + 0.2 \cdot (5)^2) - (80 - 4 \cdot 5) \] \[ (50 + 1) - (80 - 20) \] \[ 51 - 60 \] \[ -9 \]

Отже, відстань між автомобілями через 5 секунд дорівнює -9 метрів. Це означає, що автомобілі зустрічаються за менше, ніж 5 секунд, і відстань між ними вже від'ємна. Тому, щоб визначити точний час і відстань, треба використовувати значення \( t \), знайдене раніше.

Координата першого автомобіля в момент часу \( t \):

\[ x_1(t) = 2t^2 + 0.2t^2 \] \[ x_1(3.39) = 2 \cdot (3.39)^2 + 0.2 \cdot (3.39)^2 \] \[ x_1(3.39) = 2 \cdot 11.4921 + 0.2 \cdot 11.4921 \] \[ x_1(3.39) = 22.9842 + 2.2984 \] \[ x_1(3.39) \approx 25.2826 \]

Координата другого автомобіля в момент часу \( t \):

\[ x_2(t) = 80 - 4t \] \[ x_2(3.39) = 80 - 4 \cdot 3.39 \] \[ x_2(3.39) = 80 - 13.56 \] \[ x_2(3.39) \approx 66.44 \]

Отже, визначення часу і місця зустрічі автомобілів, відстані між ними через 5 секунд, та координати першого автомобіля в момент часу, коли другий був в початку відліку, нам допомогло зрозуміти картину руху обох автомобілів.