Question

Диск массой 4 килограмма и радиусом 50 сантиметров, вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Скорость вращения точек расположенных на краю диска равна ѵ = 4 м/с. Вычислите А) момент инерции диска , Б) кинетическую энергию диска

Answer 1

Ответ:

А) Момент інерції диска можна знайти за формулою:

=

1

2

2

,

I=

2

1

​

mr

2

,

де:

I - момент інерції,

m - маса диска,

r - радіус диска.

Підставляючи відомі значення:

=

1

2

⋅

4

кг

⋅

(

0.5

м

)

2

=

0.5

кг

⋅

м

2

.

I=

2

1

​

⋅4 кг⋅(0.5 м)

2

=0.5 кг⋅м

2

.

Б) Кінетична енергія обертового руху диска обчислюється за формулою:

=

1

2

2

,

K=

2

1

​

Iω

2

,

де:

K - кінетична енергія обертового руху,

I - момент інерції диска,

ω - кутова швидкість.

Для знаходження кутової швидкості

ω, враховуючи лінійну швидкість

υ на краю диска, використаємо відому формулу:

=

υ=ωr.

Звідси отримуємо:

=

=

4

м/с

0.5

м

=

8

рад/с

.

ω=

r

υ

​

=

0.5 м

4 м/с

​

=8 рад/с.

Тепер підставимо значення моменту інерції та кутової швидкості у формулу для кінетичної енергії:

=

1

2

⋅

0.5

кг

⋅

м

2

⋅

(

8

рад/с

)

2

=

128

Дж

.

K=

2

1

​

⋅0.5 кг⋅м

2

⋅(8 рад/с)

2

=128 Дж.

Отже, кінетична енергія диска становить 128 Дж.

Объяснение:

Answer 2

Відповідь:А) Для вычисления момента инерции диска можно использовать следующую формулу для момента инерции кругового диска относительно его центральной оси, перпендикулярной плоскости диска:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где:

- \(I\) - момент инерции диска,

- \(m\) - масса диска,

- \(r\) - радиус диска.

В данном случае:

- \(m = 4 \, \text{кг}\) (масса диска),

- \(r = 0.5 \, \text{м}\) (радиус диска).

Подставляя значения в формулу:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{кг} \cdot (0.5 \, \text{м})^2\]

\[I = 0.5 \, \text{кг} \cdot 0.25 \, \text{м}^2\]

\[I = 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Таким образом, момент инерции диска составляет \(0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\).

Б) Кинетическая энергия вращающегося объекта можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[KE = \frac{1}{2} I \omega^2\]

где:

- \(KE\) - кинетическая энергия,

- \(I\) - момент инерции,

- \(\omega\) - угловая скорость.

У нас уже есть значение момента инерции (\(I = 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\)), и мы знаем, что скорость вращения точек на краю диска равна \(4 \, \text{м/с}\).

Чтобы найти угловую скорость \(\omega\), используем следующее соотношение:

\[\omega = \frac{v}{r}\]

где:

- \(\omega\) - угловая скорость,

- \(v\) - линейная скорость (в данном случае, \(4 \, \text{м/с}\)),

- \(r\) - радиус диска (\(0.5 \, \text{м}\)).

Подставим значения:

\[\omega = \frac{4 \, \text{м/с}}{0.5 \, \text{м}}\]

\[\omega = 8 \, \text{рад/с}\]

Теперь, подставим значения \(I\) и \(\omega\) в формулу для кинетической энергии:

\[KE = \frac{1}{2} \cdot 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (8 \, \text{рад/с})^2\]

\[KE = 0.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 64 \, \text{рад}^2/\text{с}^2\]

\[KE = 32 \, \text{Дж}\]

Таким образом, кинетическая энергия диска составляет \(32 \, \text{Дж}\).

Пояснення:

Answer 3

А) Момент инерции диска можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где: - \(m\) - масса диска (4 кг), - \(r\) - радиус диска (50 см = 0.5 м).

Подставляя известные значения:

\[I = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{кг} \times (0.5 \, \text{м})^2 = 0.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Б) Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

\[K = \frac{1}{2} I \omega^2\]

где: - \(I\) - момент инерции (в данном случае 0.5 кг·м², как найдено ранее), - \(\omega\) - угловая скорость в радианах в секунду.

Угловая скорость (\(\omega\)) связана с линейной скоростью (\(v\)) и радиусом (\(r\)) следующим образом:

\[\omega = \frac{v}{r}\]

Подставим известные значения:

\[\omega = \frac{4 \, \text{м/с}}{0.5 \, \text{м}} = 8 \, \text{рад/с}\]

Теперь можем вычислить кинетическую энергию:

\[K = \frac{1}{2} \times 0.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \times (8 \, \text{рад/с})^2 \approx 128 \, \text{Дж}\]

Итак, момент инерции диска составляет 0.5 кг·м², а его кинетическая энергия - примерно 128 Дж.