Question

Колена сообщающихся сосудов представляют собой вертикально расположенные трубки диаметром d=2 см каждая. В одно из колен заливают сначала воду объёмом V=100 мл, а затем – такой же объём масла. Определите уровни жидкостей в коленах. Объёмом изогнутой части трубок пренебречь. Плотность масла=800 кг м^3, плотность воды =1000 кг м^3.

Answer 1

Ответ:

Уровни жидкости примерно  35 см (вода + масло) и 29 см (вода)

Объяснение:

d = 2 cм = 2·10⁻² м

V = 100 мл = 100·10⁻⁶ м³

ρ₁ = 1000 к/м³

ρ₂ = 800 к/м³

---------------------

H₁ - ? - уровень жидкости в 1-м колене

Н₂ - ? - уровень жидкости во 2-м колене

---------------------

Площадь сечения  трубки

$S= \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot4\cdot 10^{-4}}{4} = 3.14\cdot 10^{-4} ~(m^2)$

Высота столба жидкости объёмом 100 мл в такой трубке

$h = \dfrac{V}{S } = \dfrac{100\cdot10^{-6}}{3.14\cdot10^{-4} } = 0.3183~(m)$

В 1-м колене находится масло и часть воды. а во втором колене - только вода

h₁ - высота столба воды в 1-м колене

h₂ - высота столба воды во 2-м колене

h₃ - высота столба масла в 1-м колене  

h₃ = h = 0.3183 м

h₁ + h₂ = h = 0.3183 м

Давление столба жидкости в 1-м колене

p₁ = ρ₂· g · h₃ + ρ₁· g · h₁

Давление столба жидкости во 2-м колене

p₂ = ρ₁· g · h₂

р₁ = р₂

ρ₂ · h₃ + ρ₁ · h₁ = ρ₁ · h₂

Поскольку

h₃ = h

и

h₁  =  h - h₂

то получаем уравнение относительно h₂

ρ₂ · h + ρ₁ · (h - h₂) = ρ₁ · h₂

2ρ₁ · h₂ = h · (ρ₂ + ρ₁)

$h_2 = \dfrac{h\cdot (\rho_1 + \rho_2)}{2\rho_1} = \dfrac{0.3183\cdot (1000+ 800)}{2\cdot 1000} = 0.28647~(m)$

Тогда

h₁ = 0.3183 - 0.28647 = 0.03183 (м)

Итак. высота столба жидкости в 1-м колене (вода + масло)

Н₁ = h + h₁ = 0.3183 + 0.03183 = 0.35013 (м) ≈ 35 см

высота жидкости во 2-м колене (только вода)

Н₂ = h₂ = 0,28647 м ≈ 29 см

Answer 2

Для решения этой задачи сначала определим, как будут располагаться жидкости в коленях сообщающихся сосудов. Мы знаем, что вода и масло имеют разные плотности, и они будут располагаться в сосуде таким образом, что более плотная жидкость будет находиться ниже менее плотной. Давайте определим уровни жидкостей в каждом из колен.

1. Вода: - Плотность воды (ρ_воды) = 1000 кг/м³ - Объем воды (V_воды) = 100 мл = 0,1 литра = 0,0001 м³

2. Масло: - Плотность масла (ρ_масла) = 800 кг/м³ - Объем масла (V_масла) = 100 мл = 0,1 литра = 0,0001 м³

Теперь определим, как будут располагаться жидкости в коленях. Вода, как более плотная жидкость, будет находиться ниже масла.

Обозначим высоту уровня воды в колене как h_воды и высоту уровня масла как h_масла.

Теперь воспользуемся законом Архимеда, который гласит, что в подобных условиях давления на одной и той же глубине должны быть равны. Таким образом, давление на дне каждого колена должно быть одинаковым.

Давление внутри жидкости определяется как P = ρ * g * h, где: - P - давление - ρ - плотность жидкости - g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с² на Земле) - h - высота уровня жидкости над днеом

Давление на дне каждого колена должно быть одинаковым, так как они сообщаются. Поэтому:

1. Для воды: P_воды = ρ_воды * g * h_воды

2. Для масла: P_масла = ρ_масла * g * h_масла

Так как P_воды = P_масла, мы можем установить равенство:

ρ_воды * g * h_воды = ρ_масла * g * h_масла

Сократим ускорение свободного падения (g) и перегруппируем уравнение:

ρ_воды * h_воды = ρ_масла * h_масла

Теперь можем решить уравнение относительно h_воды и h_масла:

h_воды / h_масла = ρ_масла / ρ_воды

h_воды / h_масла = 800 кг/м³ / 1000 кг/м³ h_воды / h_масла = 4/5

Теперь мы знаем, что соотношение высот уровней воды и масла равно 4/5. Поскольку сумма высот h_воды и h_масла равна высоте колена (трубки), то:

h_воды + h_масла = высота колена

Пусть высота колена равна H.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

1. h_воды + h_масла = H 2. h_воды / h_масла = 4/5

Решим эту систему:

Из уравнения (2), h_воды = (4/5) * h_масла

Подставим это значение в уравнение (1):

(4/5) * h_масла + h_масла = H

Умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дроби:

4 * h_масла + 5 * h_масла = 5 * H 9 * h_масла = 5 * H

Теперь выразим h_масла:

h_масла = (5 * H) / 9

А теперь найдем h_воды, используя уравнение (2):

h_воды = (4/5) * h_масла = (4/5) * (5 * H) / 9 = (4/9) * H

Итак, мы определили высоты уровней жидкостей в коленах:

- h_масла = (5 * H) / 9 - h_воды = (4/9) * H

Это зависит от общей высоты колена (трубки), обозначенной как H.