Question

Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами a = 11 см и b = 25 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса равномерно распределена по еѐ площади с поверхностной плотностью σ = 1,1 кг/м2

Answer 1

Расположим систему координат так, как показано на рисунке. Тогда ($S$ - поверхность пластины),

$\displaystyle J=\iint\limits_{S}r_{\perp}^{2}\, dm=\iint\limits_{S}y^2\sigma\,dx\,dy=\sigma\int_{-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}}\,dx\cdot\int_{-\tfrac{a}{2}}^{\tfrac{a}{2}}y^2\,dy=b\sigma\cdot\dfrac{y^3}{3}\Bigg|_{-\tfrac{a}{2}}^{\tfrac{a}{2}}=\dfrac{a^3 b\sigma}{12}$

Или,

$J=\dfrac{11^3\,\mathrm{cm}^3\cdot 25\,\mathrm{cm}\cdot 1{,}1\,\tfrac{10^3\,\mathrm{g}}{10^4\,\mathrm{cm^2}}}{12}\approx 31\cdot 10\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2\approx 31\cdot 10^{-6}\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

Answer 2

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси определяется как сумма произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой оси .

В данном случае, у нас есть тонкая плоская пластина с сторонами a и b, массой, равномерно распределенной по ее площади с поверхностной плотностью σ. Ось, относительно которой мы определяем момент инерции, проходит через центр масс пластины и параллельно большей стороне.

Первым шагом будет вычисление массы пластины. Поскольку масса равномерно распределена по площади, масса пластины равна произведению площади на плотность:

m = a * b * σ

Затем, мы можем использовать формулу для момента инерции пластины, проходящей через ее центр масс. Формула выглядит следующим образом:

J = 1/12 * m * (a^2 + b^2)

где: - J - момент инерции, - m - масса пластины, - a и b - длины сторон пластины.

Таким образом, чтобы найти момент инерции, нужно подставить значения массы и длин сторон в эту формулу.