Question

4. Электростатическое поле создается положительно заряженной и бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния 1,5 см до 1 см ? 5. Площадь пластины плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м2, расстояние между ними d1 = 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния d2 = 4 см между ними. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин. 6. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке толщиной 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора 300 В.

Answer 1

4. Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для энергии электрона в электростатическом поле:

E = qV = -qEd

где q - заряд электрона, V - потенциальная энергия, E - напряженность поля, d - расстояние до нити.

Поскольку электрон движется вдоль линии напряженности, то изменение потенциальной энергии равно работе силы, совершаемой на электрон:

ΔE = FΔx = qEdΔx

где F - сила, действующая на электрон, Δx - изменение расстояния до нити.

Из закона сохранения энергии следует, что изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии:

ΔE = ΔK = (mv^2/2) - (mu^2/2)

где m - масса электрона, v - скорость электрона после приближения к нити, u - начальная скорость электрона.

Таким образом, мы получаем уравнение для нахождения скорости электрона:

qEdΔx = (mv^2/2) - (mu^2/2)

Заменяем значения:

q = -1.6*10^-19 Кл (заряд электрона)

E = 1*10^3 В/м (напряженность поля)

d = 0.01 м (расстояние до нити)

Δx = 0.015 м - 0.01 м = 0.005 м

m = 9.1*10^-31 кг (масса электрона)

u = 0 м/с (начальная скорость электрона)

Решаем уравнение относительно v:

v = sqrt((2qEdΔx + mu^2)/m)

Подставляем значения и получаем:

v = sqrt((2*(-1.6*10^-19)*(1*10^3)*0.005 + 0)/9.1*10^-31) ≈ 5.13*10^6 м/с

Ответ: скорость электрона после приближения к нити составит около 5.13*10^6 м/с.

5.Напряженность поля конденсатора можно найти по формуле:

E = U/d

где U - разность потенциалов, d - расстояние между пластинами.

Подставляем значения:

U = 3 кВ = 3000 В

d1 = 2 см = 0.02 м

d2 = 4 см = 0.04 м

E1 = U/d1 = 3000/0.02 = 150000 В/м

E2 = U/d2 = 3000/0.04 = 75000 В/м

Энергия конденсатора определяется по формуле:

W = (1/2)CV^2

где С - емкость конденсатора, V - напряжение на конденсаторе.

Емкость конденсатора равна:

C = ε0*S/d

где ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Подставляем значения:

ε0 = 8.85*10^-12 Ф/м

S = 0.01 м^2

d1 = 0.02 м

d2 = 0.04 м

C1 = ε0*S/d1 = 8.85*10^-12*0.01/0.02 ≈ 4.425*10^-12 Ф

C2 = ε0*S/d2 = 8.85*10^-12*0.01/0.04 ≈ 1.106*10^-12 Ф

Для первоначального расстояния между пластинами:

W1 = (1/2)C1*U^2 = (1/2)*4.425*10^-12*3000^2 ≈ 19.912 мкДж

Для нового расстояния между пластинами:

W2 = (1/2)C2*U^2 = (1/2)*1.106*10^-12*3000^2 ≈ 4.988 мкДж

Ответ: напряженность поля конденсатора для первоначального расстояния между пластинами составляет 150000 В/м, для нового расстояния - 75000 В/м. Энергия конденсатора до раздвижения пластин равна примерно 19.912 мкДж, после раздвижения - 4.988 мкДж.

6. Поверхностная плотность связанных зарядов на изоляторе можно найти по формуле:

σ = ε0*ΔV/d

где ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, ΔV - разность потенциалов между пластинами, d - толщина изолятора.

Подставляем значения:

ε0 = 8.85*10^-12 Ф/м

ΔV = 300 В

d = 1 мм = 0.001 м

σ = ε0*ΔV/d = 8.85*10^-12*300/0.001 ≈ 2.655*10^-7 Кл/м^2

Ответ: поверхностная плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке толщиной 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, равна примерно 2.655*10^-7 Кл/м^2.

Answer 2

4. Для расчета скорости электрона при его приближении к положительно заряженной бесконечной нити с постоянной линейной плотностью заряда $\lambda = 1$ нКл/см, можно использовать закон сохранения энергии. Изначально, когда электрон находится на расстоянии 1,5 см от нити, его энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии:

$E_{\text{начальная}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{kQ\lambda}{r_1}$,

где $m$ - масса электрона, $v$ - его скорость, $k$ - постоянная Кулона ($9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²), $Q$ - заряд электрона, $r_1$ - начальное расстояние от нити.

Энергия в конечной точке (расстояние 1 см от нити) состоит только из потенциальной энергии:

$E_{\text{конечная}} = -\frac{kQ\lambda}{r_2}$,

где $r_2$ - конечное расстояние от нити.

Закон сохранения энергии гласит, что начальная энергия равна конечной:

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{kQ\lambda}{r_1} = -\frac{kQ\lambda}{r_2}$.

Мы ищем скорость $v$, поэтому выразим её:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQ\lambda}{r_1} - \frac{kQ\lambda}{r_2}$.

$\frac{1}{2}mv^2 = kQ\lambda\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.

Теперь вставим известные значения: $Q$ - заряд электрона ($1.602 \times 10^{-19}$ Кл), $m$ - масса электрона ($9.109 \times 10^{-31}$ кг), $r_1 = 1.5$ см и $r_2 = 1$ см.

$\frac{1}{2}(9.109 \times 10^{-31}\ \text{кг})v^2 = (9 \times 10^9\ \text{Н·м²/Кл²})(1.602 \times 10^{-19}\ \text{Кл})(1\ \text{нКл/см})(\frac{1}{0.015\ \text{м}} - \frac{1}{0.01\ \text{м}})$.

Теперь рассчитаем скорость $v$.

5. Для нахождения напряженности поля конденсатора, используем формулу:

$E = \frac{U}{d}$,

где $E$ - напряженность поля, $U$ - разность потенциалов, $d$ - расстояние между пластинами.

Изначально, при $d = 2$ см и $U = 3$ кВ:

$E_1 = \frac{3\ \text{кВ}}{0.02\ \text{м}} = 150\ \text{кВ/м}$.

После раздвижения пластин на расстояние $d_2 = 4$ см:

$E_2 = \frac{3\ \text{кВ}}{0.04\ \text{м}} = 75\ \text{кВ/м}$.

Теперь, чтобы найти изменение энергии конденсатора, используем следующую формулу:

$\Delta E = \frac{1}{2}C(U_2^2 - U_1^2)$,

где $C$ - ёмкость конденсатора, $U_1$ - начальная разность потенциалов, $U_2$ - конечная разность потенциалов.

Емкость конденсатора можно найти, используя формулу $C = \frac{S}{d}$, где $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между ними.

$C = \frac{0.01\ \text{м}^2}{0.02\ \text{м}} = 0.5\ \text{Ф}$.

Теперь рассчитаем изменение энергии:

$\Delta E = \frac{1}{2}(0.5\ \text{Ф})[(3\ \text{кВ})^2 - (3\ \text{кВ})^2] = 0$.

Изменение энергии конденсатора при раздвижении пластин составляет 0, что логично, так как работа сил, совершенная при раздвижении пластин, идет на увеличение потенциальной энергии конденсатора.

6. Для нахождения поверхностной плотности связанных зарядов на слюдяной пластинке, используем формулу:

$\sigma = \frac{U}{d}$,

где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда, $U$ - разность потенциалов, $d$ - толщина изолятора (1 мм).

$\sigma = \frac{300\ \text{В}}{0.001\ \text{м}} = 300\ \text{кВ/м}$.

Таким образом, поверхностная плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке составляет 300 кВ/м.