Question

Величина скорости небольшого массивного тела, движущегося по гладкой плоской кривой, изменяется с течением времени по закону vτ(t)=v0+at, где v0=0,6 м/с и a=1,2 м/с2. В момент времени t=0,5 с модуль ускорения тела равен 2 м/с2. Чему равен радиус кривизны траектории тела в точке, которую проходит тело в этот момент времени? Ответ запишите в сантиметрах, округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

90 см

Объяснение:

Полное ускорение тела в любой точке кривой складывается из его касательного и нормального ускорений (см. рисунок), т.е.

$a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}$

Откуда, нормальное ускорение

$a_n=\sqrt{a^2-a_\tau^2}=\sqrt{2^2-1.2^2}=1.6$ м/с²

С другой стороны, нормальное ускорение связано с радиусом кривизны и скоростью тела соотношением

$a_n=\frac{v^2}{R}$

Значение скорости тела в данной точке легко рассчитать из ее уравнения

$v(0.5)=0.6+0.5*1.2=1.2$ м/с

Тогда, радиус кривизны

$R=\frac{v^2}{a_n}=\frac{1.2^2}{1.6}=0.9$ м или 90 см.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса кривизны траектории:

R = (v^3) / (a^2)

где R - радиус кривизны, v - скорость тела, a - ускорение тела.

Из условия задачи известны значения скорости и ускорения:

v = v0 + at v = 0,6 + 1,2 * t

a = 2 м/с^2

Подставим значения в формулу для радиуса кривизны:

R = ((0,6 + 1,2 * t)^3) / (2^2)

Так как нам нужно найти радиус кривизны траектории в момент времени t = 0,5 с, подставим этот значени в формулу:

R = ((0,6 + 1,2 * 0,5)^3) / (2^2) R = ((0,6 + 0,6)^3) / 4 R = (1,2^3) / 4 R = 1,728 / 4 R = 0,432 м

Ответ: радиус кривизны траектории тела в точке, которую оно проходит в момент времени t = 0,5 с, равен 0,432 м, что округляется до 43 см.