Question

Прожектор установлен нарасстоянии 80м от стены и бросает пятно на эту стену. Он вращается вокруг вертикальной оси, делая оборот за 30 секунд. Найти: а) уравнение движения пятна по стене в течении первой четверти оборота; б) скорость, скоторой пятно движется по стене в момент t = 3с. За начало отсчёта принять момент, когда направление луча перпендикулярно стене. Настоятельная просьба, не нужно списывать с интернета, там другие обозначения

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x(t)=80tg\left(\frac{\pi }{15}t \right)$

25,6 м/с

Объяснение:

а) Найдем циклическую частоту вращения прожектора:

$\displaystyle \omega=\frac{2\pi }{T} =\frac{2\pi }{30}=\frac{\pi }{15}$ рад/с

Тогда угол между перпендикуляром к стене и текущим положением луча может быть описан уравнением:

$\displaystyle \alpha (t)=\omega t=\frac{\pi }{15}t$ рад

Из прямоугольного треугольника (см. рисунок) ясно что:

$\displaystyle x(t)=s_0tg\alpha (t)=80tg\left(\frac{\pi }{15}t \right)$ м - это и есть искомое уравнение движения пятна;

б) Скорость найдем как первую производную координаты по времени:

$\displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=\frac{80\pi }{15} sec^2\left(\frac{\pi }{15}t\right)$ м/с

Здесь sec - функция секанс, равная:

$\displaystyle sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

В момент времени t=3 с скорость пятна равна:

$\displaystyle v(3)=\frac{80\pi }{15}sec^2\left(\frac{\pi }{15}*3\right)\approx 25.6$ м/с.

Answer 2

Привет! Я рад помочь с решением твоей задачи. Для начала, давай определим систему координат. Пусть ось x будет направлена вдоль стены, а ось y - вверх.

а) Уравнение движения пятна по стене в течение первой четверти оборота можно записать следующим образом:

x(t) = r * cos(ωt)

где x(t) - координата пятна по оси x в момент времени t, r - расстояние от проектора до стены (80 м), ω - угловая скорость вращения проектора. За первую четверть оборота (0 ≤ t ≤ T/4), где T - период вращения проектора (30 секунд), угол поворота проектора будет изменяться от 0 до π/2.

Таким образом, уравнение движения пятна по стене в первой четверти оборота будет:

x(t) = 80 * cos((π/2) * (t / (30/4)))

б) Чтобы найти скорость, с которой пятно движется по стене в момент времени t = 3 секунды, мы должны найти производную от уравнения движения по времени и подставить t = 3 секунды:

v(t) = dx(t) / dt = -80 * (π/2) * sin((π/2) * (t / (30/4)))

v(3) = -80 * (π/2) * sin((π/2) * (3 / (30/4)))

Теперь остается только вычислить значение этого выражения.

Надеюсь, это поможет! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их.