Question

Длинный прямой провод заряжен до линейной плотности заряда г. Определить энергию электростатического поля, находящуюся в воображаемом полом цилиндре, осью которого является провод. Радиусы цилиндра: внутренний R, внешний R2, высота h.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{R_2}{R}$

Объяснение:

Поле, создаваемое проводом неоднородно, однако оно аксиально-симметрично, его величина зависит от расстояния до провода по известной формуле (легко выводится из теоремы Гаусса):

$\displaystyle E(r)=\frac{\tau}{2\pi \epsilon_0r}$

Плотность энергии электростатического поля также неоднородна и определяется выражением:

$\displaystyle w(r)=\frac{\epsilon_0}{2}E(r)^2=\frac{\tau^2}{8\pi ^2\epsilon_0r^2}$

Энергия электростатического поля, заключенная в указанной области пространства найдется интегрированием по объему этой области:

$\displaystyle W=\int\limits^{}_V {w} \, dV$

Выделим в цилиндре кольцевой слой (см. рисунок), его объем равен:

$\displaystyle dV=hdS=h\pi ((r+dr)^2-r^2)=\pi h(r^2+2rdr+dr^2-r^2)=2\pi hrdr$

Слагаемым dr² пренебрегли, как величиной второго порядка малости.

Подставляем все в формулу для энергии:

$\displaystyle W=\int\limits^{R_2}_R {\frac{\tau^2}{8\pi^2\epsilon_0r^2}*2\pi hr } \, dr=\int\limits^{R_2}_R {\frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0r} } \, dr= \frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{R_2}{R}$.

Answer 2

Энергия электростатического поля вокруг длинного прямого провода, заряженного до линейной плотности заряда λ, внутри воображаемого полого цилиндра может быть найдена с использованием следующего выражения: \[U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V} \frac{E^2}{2} dV\] Где: - \(U\) - энергия электростатического поля. - \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная (пермиттивность пространства). - \(E\) - сила электрического поля. - \(V\) - объем, содержащий воображаемый полый цилиндр. Сначала давайте определим силу электрического поля вокруг провода. Для бесконечно длинного провода напряженность электрического поля \(E\) равна: \[E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\] Где \(r\) - расстояние от точки до провода. Теперь мы можем интегрировать это выражение вдоль объема воображаемого цилиндра. Объем цилиндра можно выразить как интеграл от \(r\) от \(R\) до \(R2\), и от \(z\) от 0 до \(h\), где \(R\) и \(R2\) - внутренний и внешний радиусы цилиндра, соответственно. \[U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{R}^{R2} \int_{0}^{h} \frac{\lambda^2}{4\pi^2\epsilon_0^2 r^2} r dz dr\] \[U = \frac{\lambda^2}{8\epsilon_0} \int_{R}^{R2} \frac{1}{r} dr \int_{0}^{h} dz\] Интегрируя, получим: \[U = \frac{\lambda^2}{8\epsilon_0} \ln\left(\frac{R2}{R}\right) \cdot h\] Таким образом, энергия электростатического поля внутри воображаемого полого цилиндра, ось которого является проводом, равна \(\frac{\lambda^2}{8\epsilon_0} \ln\left(\frac{R2}{R}\right) \cdot h\).