Question

Помогите с решение этих задач пожалуйста, очень надо. Задача 1.1. Уравнение колебаний имеет вид: х= 0,03sin(πt+ π/4) . Чему равны амплитуда, линейная и циклическая частота, период и начальная фаза колебаний, а также скорость и ускорение в начальный момент времени? Задача 1.2. Написать уравнение гармонического колебания, если в начальный момент времени (t = 0) смещение колеблющейся точки равно амплитуде колебаний А = 15 см за время t = 1 мин. Совершается 30 колебаний. Начальная фаза колебаний φ0 = π/2. Задача 1.3. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение аmax = 0,3 м/с2 , период колебаний Т=2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент (t = 0) равно амплитуде. Задача 2.1. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания по закону х = 0,5 sin (( п/2) *t ) м. Найти полную энергию колебаний,а также кинетическую и потенциальную энергию спустя половину периода. Задача 2.2.К пружинке подвешен груз массой 10 г. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза – 2 Дж, амплитуда колебаний – 4 см. Найти жесткость пружины k. Записать дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс. Задача 2.3. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение Е = 40 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax = 2 мН. Написать уравнение движения этого тела, если в начальный момент времени (t=0) смещение колеблющейся точки равно половине амплитуды колебаний, период колебаний Т=2 с и начальная фаза φ0 =π/6.

Answer 1

Ответ:

Задача 1.1

Дано:  x = 0,03 sin( + /4)

Найти:  A = ? =?  v = ? T= ? 0=?  (t)=?  a(t)=?  

Решение:

x = A sin(0 + 0) A = 0,03 м

0 = /4

ω = π рад/с

v = 0/2 = /2 = 0,5 Гц

x = A sin(0 + 0)

A = 0,03 м

0 = /4

ω = π рад/с

v = 0/2 = /2 = 0,5 Гц

Ответ: A = 0,03 м; ω = π рад/с; v = 0,5 Гц; T =2 c; 0 =

/4;  () = 0,06 м/с; () = 0,2 м/с2

Задача 1.2

Дано:

А = 15 см = 15*10-2 м

0 = /2 t = 1 мин  = 60 с

N = 30  колебаний

Найти x(t) - ?

Решение:

v=N/t

ω = 2*N/t = 2*30/60 =

x(t) = A sin(0 + 0) = 0,15sin(t + /2)

Ответ:

x(t) = 0,15sin(t + /2)

Задача 1.3

Дано:

amax = 0,3 м/с

x0 = A

T = 2 с  

Найти:  x(t) - ?

Решение:

x(t) = A sin(0 + 0)

ω =  2*1/T = 2/2 = рад/с

amax = Aω ^2 = A(2/T)^2

A = amaxT^2 /4 ^2 = 0,3*4/(4*3,142 ) = 0,03 м

x0 = 0,03 м x0 = Asin(0)

0 = arcsin(x0/A) = arcsin(0,03/0,03) = arcsin(1) = /2 x(t) = A

sin(0 + 0) = amaxT ^2/4^2 * sin((2t/T)+ 0) = 0,3 *sin((2t/2)+ /2)

x(t) = 0,3 * sin(t + /2)

Ответ: x(t) = 0,3 * sin(t + /2)

Задача 2.1

Дано:

ω0 = π/2 рад/с

0 = 0 t = ½*T c

m=0,05 кг

A = 0,5 м

Найти : Eк - ?  Eп - ?

смотри рисунок 1

Ответ:  E = 0,015 Дж

Задача 2.2

Дано:

Wkmax = 2 Дж

А = 4 см = 0,04 мм

M = 0,01 кг

Найти: k  - ?

Решение:

Wk = kA^2 /2

k = 2Wk/A^2 = 2*2/0,042 = 2500 Н/м  

Ответ : k = 2500 Н/м

Задача 2.3

Дано:

W = 40 мкДж =  40*10-6 Дж

Fmax= 2 мН = 2*10-3 H

0 = /6

T = 2 c

Найти: x(t) – ?

Решение:

смотри рисунок 2

Ответ : x(t) = 0,04 sin(t + /6)

Объяснение:

Answer 2

Задача 1.1. Уравнение колебаний дано в виде x = 0.03sin(πt + π/4). Разберемся с параметрами колебаний: 1. Амплитуда (A): Амплитуда колебаний равна 0.03, что указано перед синусом. 2. Линейная частота (ω): В уравнении, перед t, у нас есть коэффициент π, который указывает на частоту. Линейная частота ω = π рад/с. 3. Циклическая частота (f): Циклическая частота связана с линейной частотой следующим образом: f = ω / (2π). В данном случае, f = π / (2π) = 1/2 Гц. 4. Период (T): Период колебаний T связан с частотой следующим образом: T = 1 / f. В данном случае, T = 1 / (1/2) = 2 с. 5. Начальная фаза (φ): В уравнении есть начальная фаза π/4 радиан. 6. Скорость (v) и ускорение (a) в начальный момент времени (t=0): - Скорость v(0) = dx/dt = d/dt (0.03sin(πt + π/4)) - Ускорение a(0) = dv/dt = d²/dt² (0.03sin(πt + π/4)) Вычисляем производные: v(0) = 0.03πcos(π(0) + π/4) = 0.03πcos(π/4) ≈ 0.067 м/с a(0) = -0.03π²sin(π(0) + π/4) = -0.03π²sin(π/4) ≈ -0.191 м/с² Задача 1.2. Уравнение гармонического колебания будет иметь вид: x(t) = A sin(ωt + φ₀) Из условий задачи: - Амплитуда колебаний A = 15 см = 0.15 м - Время t = 1 мин = 60 с - Количество колебаний в 1 минуту n = 30 - Начальная фаза φ₀ = π/2 радиан Чтобы найти угловую частоту ω, воспользуемся следующей формулой: ω = 2πn / T где T - период колебаний. Период колебаний T можно найти по формуле: T = t / n Теперь подставим значения: T = 60 с / 30 = 2 с Теперь вычислим ω: ω = 2π * 30 / 2 = 30π рад/с Теперь у нас есть все параметры для уравнения: x(t) = 0.15 sin(30πt + π/2) Задача 1.3. Уравнение гармонического колебания будет иметь вид: x(t) = A sin(ωt + φ₀) Из условий задачи: - Максимальное ускорение a_max = 0.3 м/с² - Период колебаний T = 2 с - Смещение точки от положения равновесия в начальный момент (t = 0) равно амплитуде A Для нахождения угловой частоты ω воспользуемся формулой: ω = 2π / T где T - период колебаний. ω = 2π / 2 = π рад/с Теперь у нас есть все параметры для уравнения: x(t) = A sin(πt + φ₀) Для нахождения начальной фазы φ₀ и амплитуды A воспользуемся следующими условиями: 1. В начальный момент времени смещение точки равно амплитуде A, то есть x(0) = A. 2. Максимальное ускорение a_max связано с амплитудой и угловой частотой следующим образом: a_max = Aω². Подставляем значения: 0.3 м/с² = A(π рад/с)² A = 0.3 / π² ≈ 0.03 м Теперь у нас есть значения A и ω: x(t) = 0.03 sin(πt + φ₀) Далее, если в начальный момент времени смещение точки равно амплитуде (x(0) = A), то φ₀ = 0. Итак, уравнение гармонического колебания: x(t) = 0.03 sin(πt)