Question

два шара массами m1=1 кг и m2=2 кг подвешены на легких жестких стержнях длиной L=1 каждая. между ними вставлена пружина сжатая на величину ∆l=147кН/м.В исходном состоянии стержни вертикальны,а пружина скреплена нитью.на какие углы отклоняться стержни после пережигания нити?

Answer 1

Из геометрических соображений ясно, что если стержень отклоняется на угол α, изменение высоты шарика на конце стержня составляет

$\Delta h = L-L\cos\alpha = L(1-\cos\alpha)$

Поэтому можно уже говорить, что энергия сжатой пружины пошла на увеличение потенциальной энергии шариков

$\frac{k\Delta l^2}{2} = m_1gL(1-\cos\alpha_1)+m_2gL(1-\cos\alpha_2)$

С другой стороны, каждый шарик получает одинаковый по модулю импульс p в силу закона сохранения импульса, и кинетическая энергия шарика переходит в его потенциальную энергию, поэтому

$\frac{p^2}{2m_1} = m_1g(1-\cos\alpha_1)\\ \frac{p^2}{2m_2} = m_2g(1-\cos\alpha_1)\\\\ \frac{m_2g(1-\cos\alpha_2)}{m_1g(1-\cos\alpha_1)} = \frac{m_1}{m_2}\\ \frac{k\Delta l^2}{2} = m_1gL(1-\cos\alpha_1)+m_2gL(1-\cos\alpha_2)$

Решая систему из двух последних строчек найдем что
$m_1g(1-\cos\alpha_1) = \frac{k\Delta l^2}{2}\frac{m_2}{m_1+m_2}\\\\ m_2g(1-\cos\alpha_2) = \frac{k\Delta l^2}{2}\frac{m_1}{m_1+m_2}\\\\ \alpha_1 = \arccos\left(1-\frac{k\Delta l^2}{2g}\frac{m_2/m_1}{m_1+m_2}\right)\\\\ \alpha_2 = \arccos\left(1-\frac{k\Delta l^2}{2g}\frac{m_1/m_2}{m_1+m_2}\right)$

Answer 2

После пережигания нити, стержни начнут отклоняться под действием силы тяжести и упругой силы пружины. Для определения угловых отклонений стержней, нам нужно учитывать баланс моментов вокруг точки подвеса и уравнения движения.

Пусть θ1 и θ2 - углы, на которые отклоняются стержни m1 и m2 соответственно.

Для стержня m1 (1 кг) сумма моментов вокруг точки подвеса равна нулю: Момент силы тяжести m1 * g * L * sin(θ1) - Момент упругой силы пружины k * ∆l * L * sin(θ1) = 0, где g - ускорение свободного падения, k - жесткость пружины.

Для стержня m2 (2 кг) также сумма моментов вокруг точки подвеса равна нулю: Момент силы тяжести m2 * g * L * sin(θ2) + Момент упругой силы пружины k * ∆l * L * sin(θ2) = 0.

Теперь мы можем решить эти уравнения для нахождения значений углов θ1 и θ2. Для этого нам понадобятся численные значения масс, длины стержней и жесткости пружины. Давайте предположим, что у нас есть следующие значения:

m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, L = 1 м, ∆l = 147 кН/м (заметьте, что это несколько странное измерение для жесткости пружины, обычно это Н/м).

И ускорение свободного падения g = 9.8 м/с².

Подставим эти значения в уравнения и решим их численно:

1. Для стержня m1: m1 * g * L * sin(θ1) - k * ∆l * L * sin(θ1) = 0, (1 кг) * (9.8 м/с²) * (1 м) * sin(θ1) - (147000 Н/м) * (1 м) * sin(θ1) = 0.

2. Для стержня m2: m2 * g * L * sin(θ2) + k * ∆l * L * sin(θ2) = 0, (2 кг) * (9.8 м/с²) * (1 м) * sin(θ2) + (147000 Н/м) * (1 м) * sin(θ2) = 0.

Теперь вычислим значения θ1 и θ2, используя численные методы (например, метод Ньютона):

1. Для стержня m1: (9.8 - 147000) * sin(θ1) = 0, θ1 = arcsin(147000 / 9.8).

2. Для стержня m2: (19.6 + 147000) * sin(θ2) = 0, θ2 = arcsin(-147000 / 19.6).

Заметьте, что значения синуса могут быть в диапазоне [-1, 1], поэтому углы θ1 и θ2 могут быть достаточно малыми. Точные значения будут зависеть от численных значений, которые вы используете для массы, жесткости пружины и других параметров.