Question

За одну минуту амплитуда колебаний математического маятника длиной 1м уменьшилась в два раза. Найти коэффициент затухания и логарифмический декремент.

Answer 1

Коэффициент затухания b=-ln(A/A0)/t=-ln(1/2)/60=0,01155
Логарифмический коэффициент k=b*T=b*sqrt(L/g)=0,01155*sqrt(1/9,8)=0,023 

Answer 2

Для нахождения коэффициента затухания и логарифмического декремента вам понадобятся следующие формулы и свойства математического маятника.

Математический маятник - это система, которая подчиняется уравнению гармонических колебаний:

\[m\ddot{x} = -kx\]

где \(m\) - масса маятника, \(\ddot{x}\) - ускорение маятника, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - отклонение от положения равновесия.

Амплитуда колебаний математического маятника связана с его энергией и периодом колебаний следующим образом:

\[A = A_0 \cdot e^{-\beta t}\]

где \(A\) - текущая амплитуда, \(A_0\) - начальная амплитуда, \(\beta\) - коэффициент затухания, \(t\) - время.

Также, логарифмический декремент (\(\delta\)) связан с коэффициентом затухания (\(\beta\)) следующим образом:

\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln\left(\frac{A_0}{A_1}\right)\]

где \(n\) - количество периодов колебаний между моментами \(t_0\) и \(t_1\), \(A_0\) - амплитуда в момент времени \(t_0\), \(A_1\) - амплитуда в момент времени \(t_1\).

В данной задаче у нас есть начальная амплитуда \(A_0\) и амплитуда, уменьшившаяся в два раза \(A_1\), за одну минуту. Таким образом, можно записать:

\[A_1 = \frac{1}{2}A_0\]

Теперь нам нужно найти коэффициент затухания (\(\beta\)). Для этого можно воспользоваться уравнением для амплитуды:

\[A = A_0 \cdot e^{-\beta t}\]

Подставив \(A_1\) и \(A_0\) в это уравнение и время \(t\) равное 1 минуте (60 секунд), получим:

\[\frac{1}{2}A_0 = A_0 \cdot e^{-\beta \cdot 60}\]

Теперь можно решить это уравнение относительно \(\beta\):

\[\frac{1}{2} = e^{-\beta \cdot 60}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{-\beta \cdot 60})\]

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\beta \cdot 60\]

Теперь можно найти значение \(\beta\):

\[\beta = -\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{60}\]

Теперь, зная значение \(\beta\), можно вычислить логарифмический декремент (\(\delta\)). Для этого нам нужно знать количество периодов колебаний (\(n\)) между моментами времени \(t_0\) и \(t_1\). В данной задаче количество периодов не дано, поэтому мы не можем вычислить точное значение \(\delta\) без этой информации.

Таким образом, вам нужно знать количество периодов колебаний, чтобы вычислить логарифмический декремент (\(\delta\)). Если у вас есть это значение, то вы можете использовать формулу для \(\delta\), которую я предоставил выше.