Question

Цепочку длиной 1 м и массой 157 г замкнули в кольцо и надели сверху на гладкий круговой конус с вертикальной осью и углом полураствора 45°. Каким будет натяжение (в мН) цепочки, если конус привести во вращение так, чтобы каждый элемент цепочки имел скорость 2 м/с? Принять  =3,14, g = 10 м/с2.

Answer 1

В положении равновесия дифференциал потенц. энергии dU в поле всех сил равен нулю. Отсюда:
dU= - mg·dy - mrω^2dr+f·2π·dr=0
Здесь dy=ctgA·dr
Получаем выражение для силы натяжения f:
f=m/(2π)·(g·ctgA+ω^2·r)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать второй закон Ньютона для вращающегося объекта, который гласит, что сумма всех внешних моментов относительно оси вращения равна произведению момента инерции и углового ускорения:

ΣM = Iα,

где ΣM - сумма всех моментов относительно оси вращения, I - момент инерции конуса, α - угловое ускорение.

Момент инерции (I) для конуса можно выразить как:

I = (1/3) * m * r^2,

где m - масса конуса (в данном случае масса цепочки), r - радиус конуса.

Угловое ускорение (α) можно выразить через линейное ускорение (a) и радиус (r):

α = a / r.

Линейное ускорение (a) элемента цепочки равно 2 м/с^2 (по условию).

Теперь нам нужно найти момент инерции конуса. Мы знаем массу цепочки (m = 157 г = 0,157 кг) и угол полураствора конуса (45°), и мы можем найти радиус (r) конуса с использованием геометрии. Радиус конуса можно найти по следующей формуле:

r = L / (2 * sin(45°)),

где L - длина цепочки (1 м).

r = 1 / (2 * sin(45°)) ≈ 0,707 м.

Теперь мы можем найти момент инерции (I):

I = (1/3) * m * r^2 = (1/3) * 0,157 кг * (0,707 м)^2 ≈ 0,0169 кг·м^2.

Теперь, мы можем найти угловое ускорение (α):

α = a / r = 2 м/с^2 / 0,707 м ≈ 2,83 рад/с^2.

Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона для вращающегося объекта для нахождения натяжения (T) в цепочке. Момент силы натяжения (T) создает угловое ускорение (α), поэтому:

ΣM = T * r = I * α.

T * 0,707 м = 0,0169 кг·м^2 * 2,83 рад/с^2.

T ≈ (0,0169 кг·м^2 * 2,83 рад/с^2) / 0,707 м ≈ 0,0675 Н.

Теперь, чтобы перевести натяжение в миллиньютоны (мН), умножим на 1000:

T = 0,0675 Н * 1000 = 67,5 мН.

Таким образом, натяжение цепочки при таком вращении конуса составляет примерно 67,5 миллиньютонов.