Question

Тело массы m= 0,4 кг, подвешенное на пружине жесткости k, совершает малые гармонические колебания с амплитудой равной 10см. В тот момент, когда скорость движения тела равна 4 см/с, смещение тела от положения равновесия равна 6 см, Жесткость пружины k равна ... H/м равна

Answer 1

Воспользуемся законом сохранения энергии:

Eк - кинетическая энергия;

Ep - потенциальная энергия.

$\[\begin{array}{l}{E_{\max }} = {E_k} + {E_p}\\\frac{{k{A^2}}}{2} = \frac{{m{v^2}}}{2} + \frac{{k{x^2}}}{2}\\k{A^2} = m{v^2} + k{x^2}\\k({A^2} - {x^2}) = m{v^2}\\k = \frac{{m{v^2}}}{{{A^2} - {x^2}}}\\k = \frac{{0,4 \cdot {4^2}}}{{{{10}^2} - {6^2}}} = \frac{{6,4}}{{64}} = 0,1\end{array}\]$

P.S. Не переводил в систему СИ, т.к все единицы измерения сокращались.

Answer 2

Чтобы найти жесткость пружины k, мы можем использовать уравнение для гармонических колебаний:

$F = -kx$

где: F - сила, действующая на тело, k - жесткость пружины, x - смещение тела от положения равновесия.

Сначала мы можем найти силу, действующую на тело, используя второе закон Ньютона:

$F = ma$

где: m - масса тела, a - ускорение тела.

Мы знаем массу тела m = 0.4 кг и амплитуду колебаний x = 10 см = 0.1 м.

У нас также есть информация о скорости тела в момент времени, когда скорость составляет 4 см/с = 0.04 м/с.

Мы знаем, что скорость в гармонических колебаниях связана с амплитудой и максимальным смещением следующим образом:

$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

где: v - скорость, $\omega$ - угловая частота, A - амплитуда, x - смещение.

Мы знаем, что в момент времени, когда скорость равна 0.04 м/с, смещение x = 0.06 м и амплитуда A = 0.1 м. Мы можем найти $\omega$ из этого уравнения.

Сначала найдем $\omega$:

$0.04 = \omega \sqrt{0.1^2 - 0.06^2}$

Раскроем скобки:

$0.04 = \omega \sqrt{0.01 - 0.0036}$

$0.04 = \omega \sqrt{0.0064}$

$0.04 = 0.08\omega$

Теперь найдем $\omega$:

$\omega = \frac{0.04}{0.08} = 0.5 \text{ с}^{-1}$

Теперь мы можем найти силу, действующую на тело, используя уравнение скорости для гармонических колебаний:

$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

$0.04 = 0.5 \cdot \sqrt{0.1^2 - 0.06^2}$

$0.04 = 0.5 \cdot \sqrt{0.01 - 0.0036}$

$0.04 = 0.5 \cdot \sqrt{0.0064}$

$0.04 = 0.5 \cdot 0.08$

$0.04 = 0.04 \text{ м/с}$

Теперь мы можем найти силу, используя уравнение силы для гармонических колебаний:

$F = -kx$

$F = -k \cdot 0.06$

$0.04 = -0.06k$

Теперь найдем k:

$k = \frac{0.04}{-0.06} = -\frac{2}{3} \, \text{Н/м}$

Таким образом, жесткость пружины $k = -\frac{2}{3} \, \text{Н/м}$.