Question

Найдите внутреннюю энергию гелия, находящегося в сосуде вместимостью V=2л под давлением Р=150 кПа.

Answer 1

$U=\mathbb{C}_p T=\frac32\nu RT=\frac 32 pV=\frac 32 1.5\cdot 10^5\cdot 2\cdot 10^{-3}=450\mathrm{\ J}.$

Answer 2

Внутренняя энергия идеального газа может быть вычислена с использованием уравнения состояния идеального газа:

\[U = nC_vT\]

где: U - внутренняя энергия газа, n - количество вещества газа, C_v - мольная удельная теплоемкость при постоянном объеме, T - абсолютная температура.

Давление и объем газа могут быть связаны с помощью уравнения состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где: P - давление, V - объем, n - количество вещества, R - универсальная газовая постоянная (R = 8.314 Дж/(моль·К)), T - абсолютная температура.

Мольная удельная теплоемкость при постоянном объеме C_v - это физическая величина и зависит от вида газа. Для моноатомных идеальных газов, таких как гелий, C_v равна \(\frac{3}{2}R\).

Теперь мы можем решить данную задачу. Для начала, давление и объем известны:

\(P = 150 \, \text{кПа} = 150000 \, \text{Па}\) \(V = 2 \, \text{л} = 0.002 \, \text{м}^3\)

Давление и объем связаны с количеством вещества и температурой следующим образом:

\[PV = nRT\]

Мы хотим найти внутреннюю энергию U, поэтому мы сначала найдем количество вещества n:

\[n = \frac{PV}{RT}\]

Теперь мы можем выразить внутреннюю энергию:

\[U = nC_vT\]

Для гелия C_v равно \(\frac{3}{2}R\), и мы знаем R. Также, для того чтобы найти температуру T, мы можем использовать уравнение состояния:

\[PV = nRT\]

\[T = \frac{PV}{nR}\]

Подставим это значение в формулу для внутренней энергии:

\[U = nC_vT\]

Теперь мы можем вычислить внутреннюю энергию гелия:

\[U = \frac{PV}{RT} \cdot \frac{3}{2}R \cdot \frac{PV}{nR} = \frac{3}{2} \cdot \frac{P}{R} \cdot \frac{V}{T}\]

Подставим значения:

\[U = \frac{3}{2} \cdot \frac{150000 \, \text{Па}}{8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}} \cdot \frac{0.002 \, \text{м}^3}{\frac{150000 \, \text{Па} \cdot 0.002 \, \text{м}^3}{8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{150000 \, \text{Па}}{8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}} \cdot \frac{8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}}{150000 \, \text{Па}} \cdot 0.002 \, \text{м}^3 = 0.005 \, \text{Дж}\]

Таким образом, внутренняя энергия гелия, находящегося в сосуде объемом 2 литра при давлении 150 кПа, составляет 0.005 Дж.