Question

На материальную точку массой m=250 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R=5v². Определить скорость точки в момент времени t=6c, если при t0=0c eё скорость v0=20м/с​

Answer 1

Ответ: 100/17 м/с.

Объяснение:

По второму закону Ньютона, m*dv/dt=-R=-5*v², и тогда dv/v²=-5*dt/m. Интегрируя, получаем 1/v=5*t/m+C, где C - произвольная постоянная. Используя условие v(0)=20 м/с, получаем уравнение 1/20=С, и тогда 1/v=5*t/250+1/20=(2*t+5)/100 и v(t)=100/(2*t+5). Отсюда при t=6 с v(6)=100/(2*6+5)=100/17 м/с.  

Answer 2

Для решения этой задачи используем второй закон Ньютона, который гласит:

$F = m \cdot a$

Здесь $F$ - сила, $m$ - масса, $a$ - ускорение. Мы также знаем, что сила сопротивления $R = 5v^2$.

Ускорение $a$ можно найти, подставив силу сопротивления во второй закон Ньютона:

$m \cdot a = -R$

$m \cdot a = -5v^2$

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение, описывающее движение:

$m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = -5v^2$

Разделим обе стороны на $m$:

$\frac{{dv}}{{dt}} = -\frac{{5v^2}}{m}$

Теперь можно приступить к решению этого уравнения. Для этого воспользуемся методом разделения переменных:

$\frac{{dv}}{{v^2}} = -\frac{{5}}{{m}} dt$

Интегрируем обе стороны:

$-\frac{1}{{v}} = -\frac{{5t}}{{m}} + C_1$

Теперь найдем константу $C_1$ с использованием начальных условий $v_0 = 20 \, \text{м/с}$ при $t_0 = 0$:

$-\frac{1}{{v_0}} = -\frac{{5 \cdot t_0}}{{m}} + C_1$

$-\frac{1}{{20}} = 0 + C_1$

$C_1 = -\frac{1}{{20}}$

Теперь мы можем найти скорость $v$ в момент времени $t = 6\,c$:

$-\frac{1}{{v}} = -\frac{{5 \cdot 6}}{{m}} - \frac{1}{{20}}$

$\frac{1}{{v}} = \frac{{30}}{{m}} + \frac{1}{{20}}$

v = \frac{1}{{\frac{{30}}{{m}} + \frac{1}}{{20}}}

v = \frac{{20}}{{\frac{{30}}{{m}} + \frac{1}}}

v = \frac{{20}}{{\frac{{30}}{{250}} + \frac{1}}}

$v \approx 19.05 \, \text{м/с}$

Таким образом, скорость точки в момент времени $t = 6\,c$ составляет примерно $19.05 \, \text{м/с}$.