Question

1. Написати вирази для лагранжіану, гамільтоніану та енергії гармонічного осцилятора. 2. Написати вирази для лагранжіану, гамільтоніану та енергії математичного тривимірного маятника.​

Answer 1

Ответ:

См фото

Объяснение:

Answer 2

1. Для гармонічного осцилятора:

Лагранжіан:

$$L = T - U$$

де T - кінетична енергія, U - потенціальна енергія.

Кінетична енергія T залежить від швидкості r (де r - координата частинки), і вона визначається як:

$$T = \frac{1}{2} m \dot{r}^2$$

де m - маса частинки, $\dot{r}$ - швидкість частинки.

Потенціальна енергія U для гармонічного осцилятора залежить від відхилення частинки від рівноважної позиції і вона визначається як:

$$U = \frac{1}{2} k r^2$$

де k - константа жорсткості пружини, r - відхилення від рівноважної позиції.

Тепер, підставивши ці вирази у лагранжіан, отримаємо:

$$L = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 - \frac{1}{2} k r^2$$

Гамільтоніан: Гамільтоніан H для гармонічного осцилятора обчислюється як:

$$H = T + U$$

Підставивши значення T і U, отримаємо:

$$H = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} k r^2 Енергія: Енергія E системи буде константою руху і рівна гамільтоніану:$$

E = H = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} k r^2

$$2. Для математичного тривимірного маятника: Лагранжіан: Лагранжіан для математичного тривимірного маятника з однорідною масою m та довжиною l можна записати так:$$

L = T - U

де T - кінетична енергія, U - потенціальна енергія. Кінетична енергія T для цього системи залежить від кутових швидкостей $\dot{\theta}$ та $\dot{\phi}$ і вона визначається як:

T = \frac{1}{2} m (l^2 \dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta \dot{\phi}^2)

Потенціальна енергія U для математичного тривимірного маятника під впливом гравітації залежить від кутів $\theta$ і $\phi$ і вона визначається як:

U = mgl(1 - \cos\theta)

де g - прискорення вільного падіння, l - довжина маятника, $\theta$ - кут відхилення від вертикалі. Тепер, підставивши ці вирази у лагранжіан, отримаємо:

L = \frac{1}{2} m (l^2 \dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta \dot{\phi}^2) - mgl(1 - \cos\theta)

$$Гамільтоніан: Гамільтоніан H для цієї системи обчислюється як:$$

H = T + U

$$Підставивши значення T і U, отримаємо:$$

H = \frac{1}{2} m (l^2 \dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta \dot{\phi}^2) + mgl(1 - \cos\theta)

Енергія: Енергія E системи буде константою руху і рівна гамільтоніану:

$$E = H = \frac{1}{2} m (l^2 \dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta \dot{\phi}^2) + mgl(1 - \cos\theta)$$

Ці вирази описують лагранжіан, гамільтоніан і енергію для математичного тривимірного маятника.