Question

З моделі ракети масою 200 г вилітають гази зі швидкістю 600 м/с відносно Землі. Вважати, що заряд масою 50 г згоряє миттєво. Визначити дійсну висоту підняття моделі, якщо опір повітря в 3 рази зменшує теоретично обчислену висоту?

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання цього завдання використаємо закон збереження імпульсу. Сумарний імпульс системи моделі ракети та газів, що вилітають з неї, зачинений і дорівнює нулю, тобто:

m_r * v_r + m_g * v_g = 0,

де m_r - маса ракети, v_r - швидкість ракети на початку польоту, m_g - маса газів, що вилітають з ракети, v_g - швидкість цих газів.

Далі виразимо швидкість ракети на початку польоту:

v_r = -(m_g / m_r) * v_g,

При цьому ми представляємо, що напрямок руху газів та ракети протилежний, тож масу газів беремо зі знаком мінус.

Тепер ми можемо визначити максимальну висоту піднесення ракети. За законом збереження енергії маємо:

(m_r + m_g) * g * h = (1/2) * (m_r + m_g) * v_r^2 + (1/2) * m_g * v_g^2,

де g - прискорення вільного падіння, h - максимальна висота піднесення ракети.

Підставимо в цей вираз значення швидкостей:

(m_r + m_g) * g * h = (1/2) * (m_r + m_g) * [-(m_g/m_r) * v_g]^2 + (1/2) * m_g * v_g^2,

звідки отримуємо:

h = [v_g^2 / (2 * g)] * [(m_r + m_g)/m_r] * [1 - (1/3)]

h = [v_g^2 / (6 * g)] * [(4/3) * m_r] = [600^2 / (6 * 9.81)] * [(4/3) * 0.2] ≈ 2917 м.

Отже, дійсна висота піднесення моделі ракети становить 2917 м. Оскільки опір повітря зменшує теоретично обчислену висоту в три рази, то фактична висота буде дорівнювати 2917/3 ≈ 972 м

Answer 2

Для решения задачи можно использовать закон сохранения импульса. Момент начала движения ракеты можно пренебречь, так как он не влияет на конечный результат.

Пусть начальная масса ракеты (с зарядом) равна m0, а конечная масса (после сгорания заряда) – m1. Тогда изменение импульса ракеты будет равно импульсу выброшенных газов:

Δp = m0v - m1v1,

где v – скорость ракеты до выброса газов, v1 – скорость выброшенных газов относительно ракеты.

Закон сохранения импульса гласит, что Δp равно импульсу, переданному ракете силами противодействия, например, силой сопротивления воздуха:

Δp = Ft,

где F – сила сопротивления воздуха, t – время, в течение которого сила действует.

После сгорания заряда ракета продолжает подниматься на высоту h. Для определения этой высоты нужно учесть, что ракета со скоростью v1 продвигается относительно Земли со скоростью v, так как изначально она двигалась вместе с Землей со скоростью тоже величины v. Поэтому можно записать уравнение движения ракеты:

h = vt - 0.5gt^2,

где g – ускорение свободного падения.

Известно, что теоретически вычисленная высота подъема ракеты без учета сопротивления воздуха равна:

h0 = v^2 / 2g.

Тогда в общем виде уравнение, связывающее импульс, силу сопротивления воздуха и высоту поднятия ракеты, можно записать так:

h = (m0v - m1v1)t / 2(m0 - m1) - (Ft^2) / (2(m0 - m1)g).

Так как задано, что сила сопротивления воздуха в 3 раза больше, чем теоретически рассчитанная высота, можно записать:

F = 3h0g.

Подставляя эту формулу и данные задачи в уравнение для высоты h, получаем:

h = (m0v - m1v1)t / 2(m0 - m1) - 1.5v^2t^2.

Для определения времени t можно воспользоваться законом сохранения энергии. Изначально у ракеты есть потенциальная энергия m0gh0, после сгорания заряда – только кинетическая энергия (m0 - m1)v^2 / 2. Считая, что работа силы сопротивления воздуха не учитывается (т.е. потери энергии только на преодоление силы тяжести), можно записать:

m0gh0 = (m0 - m1)v^2 / 2,

откуда:

t = √(2h0 / g).

Подставляя найденное значение t, а также данные задачи, получаем окончательный ответ:

h = 310 м.

Answer 3

Для визначення дійсної висоти підняття моделі ракети ми можемо скористатися другим законом Ньютона, який описує рух об'єкта, і врахувати опір повітря.

Почнемо з того, що ми маємо масу ракети, її швидкість вибуху газів і масу заряду:

Маса ракети (m) = 200 г = 0,2 кг Швидкість вибуху газів (v) = 600 м/с Маса заряду (m_заряду) = 50 г = 0,05 кг Опір повітря (F_опір) зменшує теоретично обчислену силу тяжіння, яка діє на ракету. Сила тяжіння може бути розрахована за формулою:

F_тяжіння = m * g,

де g - прискорення вільного падіння на Землі, приблизно 9,81 м/с².

Отже, сила тяжіння на початку польоту буде:

F_тяжіння = 0,2 кг * 9,81 м/с² = 1,962 Н.

Опір повітря, зменшуючи цю силу, діє протилежно напряму руху ракети і може бути представлений як:

F_опір = -k * v,

де k - коефіцієнт опору повітря. Ми знаємо, що опір повітря зменшує теоретично обчислену висоту в 3 рази, тобто:

F_опір = (1/3) * F_тяжіння.

З цього ми можемо знайти значення k:

(1/3) * F_тяжіння = -k * v, k = (1/3) * F_тяжіння / v.

Тепер, коли у нас є значення k, ми можемо знайти дійсну висоту підняття. Рух ракети буде гальмуватися опором повітря, і ми можемо використовувати другий закон Ньютона:

F_сума = m * a,

де F_сума - сума всіх сил, діючих на ракету, m - маса ракети і маса заряду, a - прискорення ракети.

Сума сил включає силу тяжіння і опір повітря:

F_сума = F_тяжіння + F_опір.

Тепер ми можемо виразити прискорення:

a = F_сума / m, a = (F_тяжіння + F_опір) / (m + m_заряду).

Підставимо значення F_тяжіння, F_опір та m_заряду:

a = (1,962 Н - k * v) / (0,2 кг + 0,05 кг).

Рух ракети протягом польоту буде сповільнюватися, тому ми можемо використовувати рівняння руху:

v^2 = u^2 + 2as,

де v - кінцева швидкість, u - початкова швидкість (0 м/с при початку польоту), a - прискорення, s - висота.

Ми хочемо знайти висоту s, тому можемо переписати рівняння як:

s = (v^2 - u^2) / (2a).

Підставимо відомі значення:

s = (0 - 600^2) / (2 * a).

Значення a ми вже розрахували раніше. Підставимо його:

s = (0 - 600^2) / [2 * ((1,962 Н - k * 600 м/с) / (0,2 кг + 0,05 кг))].

Тепер можемо обчислити дійсну висоту підняття моделі ракети. Важливо врахувати, що висота буде змінюватися протягом польоту, але це рівняння дає нам загальну ідею про висоту на певному моменті.