Question

Куля масою m зі швидкістю v налітає на нерухому кулю масою m/2 та змінює свій напрямок руху на 30°. З якими швидкостями рухались кулі після зіткнення?

Answer 1

Ответ: Готово :)

Объяснение:

Закон збереження імпульсу та енергії.

Після зіткнення система куль стане замкненою, а отже, сума імпульсів куль до та після зіткнення повинна бути однаковою:

m * v = m/2 * v1x + m/2 * v1y

де v1x та v1y - горизонтальна та вертикальна складові швидкості кулі після зіткнення.

Оскільки куля змінює свій напрямок на 30°, тому:

v1x = v * cos(30°)

v1y = v * sin(30°)

Підставляючи ці значення до рівняння збереження імпульсу, отримуємо:

m * v = m/2 * v * cos(30°) + m/2 * v * sin(30°)

m * v = m/4 * v * (sqrt(3) + 1)

v = 4v / (sqrt(3) + 1)

Отже, швидкість кулі після зіткнення складає:

v1x = v * cos(30°) ≈ 3.464v / (sqrt(3) + 1)

v1y = v * sin(30°) ≈ 2v / (sqrt(3) + 1)

Примітка: sqrt - я так позначив корінь квадратний.

Answer 2

Для вирішення цього завдання скористаємося законами збереження імпульсу та збереження енергії.

Означимо наступні параметри:

• m1 - маса першої кулі (початкова куля), m1 = m
• v1 - швидкість першої кулі перед зіткненням
• m2 - маса другої кулі (нерухома куля), m2 = m/2
• v2 - швидкість другої кулі після зіткнення
• θ - кут зміни напрямку руху після зіткнення, θ = 30°
• u1 - швидкість першої кулі після зіткнення
• u2 - швидкість другої кулі після зіткнення

Закон збереження імпульсу в горизонтальному напрямку говорить нам, що сума імпульсів до та після зіткнення має бути однаковою: $m1 * v1 = m1 * u1 * cos(θ) + m2 * u2 * cos(θ).$

Закон збереження енергії каже нам, що кінетична енергія перед та після зіткнення має бути однаковою: $0.5 * m1 * v1^2 = 0.5 * m1 * u1^2 + 0.5 * m2 * u2^2.$

Враховуючи, що $v1 = v$ (швидкість початкової кулі) і $u1 = u$, розв'яжемо систему рівнянь для знаходження $u$ та $u2$. Спочатку знайдемо $u$: $m * v = m * u * cos(θ) + (m/2) * u2 * cos(θ).$

Поділимо це рівняння на $m * cos(θ)$: $v = u + (m/2) * u2.$

Тепер знайдемо $u2$ з рівняння збереження енергії: $0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * u^2 + 0.5 * (m/2) * u2^2.$

Поділимо обидва боки на $0.5 * (m/2)$: $v^2 = u^2 + 0.25 * u2^2.$

Підставимо значення $v = u + (m/2) * u2$ з першого рівняння в це: $(u + (m/2) * u2)^2 = u^2 + 0.25 * u2^2.$

Розкриємо дужки та спростимо: $u^2 + u^2 + m * u * u2 + 0.25 * m^2 * u2^2 = u^2 + 0.25 * u2^2.$

Відкинемо $u^2$ з обох боків: $m * u * u2 + 0.25 * m^2 * u2^2 = -0.75 * u2^2.$

Тепер знайдемо $u2$: $u2 * (m * u + 0.25 * m^2 * u2) = -0.75 * u2^2.$

Розділимо обидва боки на $u2$ (розглядаємо $u2 \neq 0$): $m * u + 0.25 * m^2 * u2 = -0.75 * u2.$

Перегруппуємо та вирішимо відносно $u2$: $u2 = \frac{-4 * m * u}{m + m^2}.$

Тепер ми знаємо $u2$. Підставимо це значення у вираз для $u$ з першого рівняння: $v = u + \frac{m}{2} * u2.$

Підставимо значення $u2$ та вирішимо відносно $u$: $v = u + \frac{m}{2} * \frac{-4 * m * u}{m + m^2}.$

Спростимо та вирішимо відносно $u$: $v = u \left(1 - \frac{2m}{m + m^2}\right).$