Question

Используя законы Ньютона доказать, что момент импульса замкнутой механической системы не изменится с течением времени

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Согласно закону сохранения момента импульса, сумма моментов импульса всех тел механической системы остается постоянной, пока воздействующие на данную систему моменты внешних сил скомпенсированы. Для замкнутой системы закон сохранения момента импульса выполняется всегда, так как в таком случае внешних сил нет вообще. Соответственно, момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Answer 2

Для доказательства того, что момент импульса замкнутой механической системы не изменится с течением времени, мы можем воспользоваться законами Ньютона. Сначала давайте определим, что такое момент импульса.

Момент импульса (L) системы определяется как векторное произведение радиус-вектора (r) и импульса (p) частицы в системе:

L = r x p

Где символ "x" обозначает векторное произведение. Теперь мы можем записать закон изменения момента импульса для системы:

dL/dt = Σ(r x F)

Здесь dL/dt представляет собой производную момента импульса по времени, Σ означает сумму по всем частицам системы, r - радиус-вектор частицы, а F - сила, действующая на частицу.

Теперь давайте применим второй закон Ньютона (F = dp/dt), где F - это сила, а dp/dt - изменение импульса частицы по времени. Заменим F в нашем выражении:

dL/dt = Σ(r x (dp/dt))

Теперь мы видим, что внутри суммы у нас есть векторное произведение радиус-вектора и изменения импульса dp/dt. Вспомним, что по определению момент импульса L = r x p, и можем записать это как:

dL/dt = Σ[(r x p) x (dp/dt)]

Теперь воспользуемся векторным тождеством для смешанного произведения: A x (B x C) = (A · C)B - (A · B)C. Применим это тождество к нашему выражению:

dL/dt = Σ[(r · dp/dt)p - (r · p)dp/dt]

Теперь мы видим два члена в этом выражении. Первый член (r · dp/dt)p представляет собой произведение скалярного произведения радиус-вектора и изменения импульса на импульс p. Второй член (r · p)dp/dt представляет собой произведение скалярного произведения радиус-вектора и импульса на изменение импульса dp/dt.

Обратите внимание, что первый член может быть интерпретирован как изменение момента импульса относительно центра масс системы, а второй член как изменение момента импульса центра масс системы.

Теперь вспомним, что по третьему закону Ньютона действие и противодействие равны и противоположно направлены. Таким образом, сумма изменений импульса всех частиц системы равна нулю (Σdp/dt = 0).

Следовательно, второй член в выражении dL/dt равен нулю:

Σ(r · p)dp/dt = 0

Таким образом, у нас остается только первый член:

dL/dt = Σ[(r · dp/dt)p]

Из этого выражения видно, что изменение момента импульса системы равно сумме всех таких величин для каждой частицы в системе. Это означает, что момент импульса системы останется постоянным, если сумма всех таких величин равна нулю. Изменение момента импульса равно нулю, что и доказывает, что момент импульса замкнутой механической системы не изменится с течением времени.