Question

Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли (10 м/с^2) и радиус планеты (6400 км) , рассчитайте её среднюю плотность.

Answer 1

Дано:
g=10 м/с²
R=6 400 км = 6,4*10⁶ м
____________________
ρ₃ - ?

Плотность:
ρ₃ = M₃ / V₃

Ускорение:
g=G*M₃ / R₃²
Выразим отсюда массу Земли:
М₃=g*R₃²/G

Земля - шар. Объем шара:
V₃ =(4/3)*π*R₃³

Плотность Земли:
ρ₃=(g*R₃²/G) / ((4/3)*π*R₃³) = 3*g / (4*π*G*R₃²) =
=3*10 / (2*3,14*6,67*10⁻¹¹*6,4*10⁶) = 5 600 кг/м³  или 5,6 г/см³

Посмотрим в справочник (см. скрин):
Мы видим, что мы рассчитали плотность Земли правильно!

Answer 2

Средняя плотность планеты может быть рассчитана с использованием формулы для ускорения свободного падения и закона всемирного тяготения.

Ускорение свободного падения (g) на поверхности планеты связано с её массой (M) и радиусом (R) следующим образом:

$g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}},$

где $G$ - гравитационная постоянная.

Выражая массу через плотность (ρ) и объем (V) планеты, получим $M = ρ \cdot V$, а также $V = \frac{4}{3}πR^3$.

Подставив это в уравнение для $g$, получаем:

$g = \frac{{4}{3}πG \cdot ρ \cdot R}{{R^3}}.$

Из этого уравнения можно выразить плотность (ρ):

ρ = \frac{{3}{4} \cdot \frac{{g \cdot R^3}}{{π \cdot G}}.

Подставив данные:

ρ = \frac{{3}{4} \cdot \frac{{10 \, м/с^2 \cdot (6400 \, км \cdot 10^3 \, м)^3}}{{π \cdot G}}.

Считаем числовое выражение:

ρ = \frac{{3}{4} \cdot \frac{{10 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^3}}{{π \cdot 6.67430 \times 10^{-11}}} \, кг/м^3.

Решив этот выражение, получаем приблизительное значение средней плотности планеты.

Пожалуйста, помните, что в данном расчете используются приближенные значения, и реальные значения могут отличаться.