Question

Имеются три шара с массами m1m1, μ и m2m2 . Шар m2m2 движется по горизонтальной плоскости, остальные шары покоятся (см. рисунок). Происходят центральные упругие столкновения шаров. При каком значении массы μ шар массой m1m1 будет иметь после одного столкновения с шаром μ максимальную скорость? Ответ в килограммах округлить до сотых по правилам округления и вписать в поле ответа. Трения между шарами и плоскостью нет. Значения масс: m1= 2.0 кг, m2 = 1.0 кг.

Answer 1

Пусть тело μ между m₂ и m₁ (возможен и другой вариант, когда m₂ бьёт по m₁, и μ получает удар последним, но он мне кажется менее подходящим)
1. соударение между движущимся m₂ и неподвижным μ
Закон сохранения импульса
m₂v₂ + μ*0 =  m₂v₂' + μv'
Энергии
m₂v₂²/2 + μ*0²/2 =  m₂v₂'²/2 + μv'²/2
Со штрихом - скорости после столкновения
m₂(v₂-v₂')  = μv'
m₂(v₂² - v₂'²) = μv'²
m₂(v₂² - v₂'²) = m₂(v₂-v₂')*m₂(v₂-v₂')/μ
μ(v₂ + v₂') = m₂(v₂-v₂')
μv₂ + μv₂' = m₂v₂ - m₂v₂'
(μ+m₂)v₂'=(m₂-μ)v₂
v₂'=v₂(m₂-μ)/(μ+m₂)
m₂(v₂-v₂(m₂-μ)/(μ+m₂))  = μv'
m₂v₂(1-(m₂-μ)/(μ+m₂))  = μv'
m₂v₂(μ+m₂-m₂+μ))/(μ+m₂)  = μv'
2m₂v₂μ/(μ+m₂)  = μv'
2m₂v₂/(μ+m₂)  = v'
v' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂)
Аналогично и для второго соударения, между движущимся телом μ неподвижным m₁
v₁' = v' * 2μ/(μ+m₁)
v₁' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂) * 2μ/(μ+m₁)
Попробуем взять производную по μ и приравнять её к нулю, для поиска максимума скорости
Производная сложной функции
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^{2} }$
в нашем сучае она равна нулю. Знаменатель всегда положителен, т.к. массы неотрицательны. Остаётся приравнять нулю числитель
(+m₂)μ(μ+m₁)-μ(2μ+m₂+m₁) = 0
μ^2+μ(m₂+m₁)+m₂-2μ^2-μ(m₂+m₁)=0
μ^2 = m₂*m₁
Получается, что для максимальной скорости массы М1 после удара масса среднего тела должна быть средним геометрическим от масс крайних тел
Или в числах
μ = sqrt(2*1) = 1,41 кг

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию. После столкновения шара массой μ с шаром массой m1, оба шара будут двигаться с общей скоростью центра масс системы, сохраняя закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Закон сохранения импульса: m1 * v1_initial = m1 * v1_final + μ * vμ_final

Закон сохранения энергии: 0.5 * m1 * v1_initial^2 = 0.5 * m1 * v1_final^2 + 0.5 * μ * vμ_final^2

Где:

• m1: масса первого шара (2.0 кг)
• v1_initial: начальная скорость первого шара (равна нулю)
• v1_final: конечная скорость первого шара после столкновения
• μ: масса второго шара (масса, которую мы ищем)
• vμ_final: конечная скорость второго шара после столкновения

После упрощения законов сохранения импульса и энергии получим следующее уравнение:

m1 * v1_final = μ * vμ_final

Теперь мы хотим максимизировать скорость первого шара (v1_final) после столкновения. Для этого нужно максимизировать массу μ. Подставляя значение m1 (2.0 кг), у нас будет:

2.0 * v1_final = μ * vμ_final

Мы хотим, чтобы μ было максимальным. Разделим обе стороны на vμ_final:

μ = (2.0 * v1_final) / vμ_final

Мы знаем, что максимальная скорость, которую может достичь шар μ, это скорость, которую имеет шар m2 после упругого столкновения с шаром μ (по закону сохранения импульса). Так как второй шар двигается по горизонтальной плоскости и масса m2 = 1.0 кг, его скорость после столкновения равна vμ_final.

Таким образом, μ = 2.0 кг / 1.0 кг = 2.0 кг.

Ответ: 2.0 (кг)