Question

Луч пересекает главную оптическую ось под углом a, на расстоянии 20 см от оптического центра собирающей линзы, преломлённый луч пересекает главную оптическую ось под углом b, tg(b)=3tg(a). Найти фокусное расстояние линзы.

Answer 1

D=20 см     tgβ=3*tgα   F=?
===
h/d=tgα
h/f=tgβ
d/f=tgβ/tgα=3
f=d/3
1/F=1/d+1/f
F=f*d/(f+d)=d*(d/3)/(d/3+d)=d/4=20/4=5 см
==============================

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тонкой линзовой формулой:

1/f = (n - 1) * (1/R1 - 1/R2),

где f - фокусное расстояние линзы, n - показатель преломления среды линзы, R1 и R2 - радиусы кривизны поверхностей линзы.

В данном случае линза является собирающей (сферической), поэтому у нее будет одна выпуклая и одна вогнутая поверхности. Пусть R1 и R2 будут радиусами кривизны для выпуклой и вогнутой поверхностей соответственно.

Из геометрии задачи известно следующее:

1. Луч первоначально пересекает главную оптическую ось на расстоянии 20 см от оптического центра собирающей линзы, что означает, что он пересекает первую поверхность линзы на расстоянии 20 см от оптического центра. Таким образом, R1 = 20 см.
2. После преломления луч пересекает главную оптическую ось под углом b, и известно, что tg(b) = 3 * tg(a).

Мы можем найти R2, используя закон преломления для сферической линзы:

n1 * sin(a) = n2 * sin(b),

где n1 - показатель преломления среды, из которой приходит луч (скажем, воздух с показателем преломления близким к 1), n2 - показатель преломления среды линзы.

Подставим значение tg(b) и tg(a) и упростим уравнение:

n1 * tg(a) = n2 * 3 * tg(a).

Отсюда n2 = n1 / 3.

Теперь можем найти R2, зная, что луч пересекает вторую поверхность линзы под углом b:

R2 = 1 / (n2 * sin(b)).

Теперь можем рассчитать фокусное расстояние f, используя тонкую линзовую формулу:

1/f = (n - 1) * (1/R1 - 1/R2).

Мы знаем, что для воздуха показатель преломления близок к 1, поэтому n ≈ 1.

1/f = (1 - 1) * (1/20 см - 1/R2) = -1/R2.

Теперь подставим R2:

1/f = -1 / (1 / (n2 * sin(b))) = -n2 * sin(b).

Наконец, зная, что n2 = n1 / 3, получим:

1/f = -(n1 / 3) * sin(b).

Теперь можем выразить f:

f = -3 / (n1 * sin(b)).

Таким образом, фокусное расстояние линзы f равно -3 / (n1 * sin(b)).