Question

№1 (1). Приведите пример набора из двух тысяч строго положительных чисел, сумма и произведение которых будут равны №3 (4). Можно ли вписать окружность в пятиугольник со сторонами 7,10,4,3,2? Докажите своё утверждение.

Answer 1

Заметим  , что
2000 + 2000 = 4000
          и
2 * 2000 = 4000
Представим сумму 2000 + 2000 в виде
1998 + 2 + 2000 = 4000 = 2 * 2000
Заменим число 1998 единицами
1 + 1 + 1+ ... + 1 + 2 + 2000 = 1 * 1 * 1 * ... * 1 * 2 * 2000
У меня нет возможности поставить скобки под единицами в правой и в левой частях и под скобкой нужно написать, что этих единиц по 1998 штук в каждой части.
Таким образом в обеих частях по 2000 членов и их сумма равна произведению.
Ответ : 1998 единиц, одна двойка и число 2000.

Answer 2

№1 (1): Для примера набора из двух тысяч строго положительных чисел, сумма и произведение которых равны, возьмем числа 1999 и 1.

Сумма: 1999 + 1 = 2000 Произведение: 1999 * 1 = 1999

Таким образом, набор чисел {1999, 1} подходит под условие.

№3 (4): Для того чтобы понять, можно ли вписать окружность в данный пятиугольник со сторонами 7, 10, 4, 3, 2, нужно проверить выполнение неравенства для пятиугольника:

r < (min(стороны) / 2)

где r - радиус вписанной окружности.

Минимальная сторона в пятиугольнике равна 2, поэтому:

r < 2 / 2 r < 1

Таким образом, радиус вписанной окружности должен быть меньше 1. Теперь нужно найти радиус самой большой окружности, которую можно вписать в пятиугольник.

Для пятиугольника, у которого все стороны равны, радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = a / (2 * tan(π / n))

где a - длина стороны пятиугольника, n - количество сторон (в данном случае n=5).

Для данного пятиугольника: a = 10 (максимальная сторона) n = 5 (количество сторон)

r = 10 / (2 * tan(π / 5)) ≈ 10 / (2 * 0.7265) ≈ 6.881

Таким образом, радиус самой большой окружности, которую можно вписать в данный пятиугольник, примерно равен 6.881.

Сравнивая радиус вписанной окружности с радиусом самой большой окружности, можно сделать вывод, что окружность с радиусом менее 1 (r < 1) умещается в пятиугольнике, так как она меньше максимально возможного радиуса для данного пятиугольника (r < 6.881).

Таким образом, можно вписать окружность с радиусом менее 1 в данный пятиугольник со сторонами 7, 10, 4, 3, 2.