Question

Помогите!!! Допоможіть!!! на якій висоті над полюсом землі маса тіла буде втричі меншою ніж на поверхні? на какой высоте над полюсом земли масса тела будет втрое меньше, чем на поверхности?

Answer 1

F=G*m*M/R^2

F1=G*m*M/(R+h)^2=(Gm*M/R^2)/3

(R+h)^2=3R^2

(R+h)^2=(√3R)^2

R+h=√3R

h=√3R-R=R(√3-1)=R(1,73-1)=0,73R

На высоте 0,73Rземли сила тяжести в 3 раза меньше.

Answer 2

На определенной высоте над полюсом Земли гравитационное притяжение будет слабее, что приведет к уменьшению массы тела. Эта высота зависит от расстояния от центра Земли, а гравитационное поле убывает пропорционально квадрату расстояния.

Чтобы найти высоту, на которой масса тела уменьшится втрое по сравнению с массой на поверхности Земли, воспользуемся формулой:

$F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}$

где: $F$ - сила притяжения, $G$ - гравитационная постоянная ($G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$), $M$ - масса Земли ($M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$), $m$ - масса тела, $r$ - расстояние от центра Земли до тела (в данном случае, радиус Земли плюс высота над поверхностью).

Для удобства выразим массу тела $m$ через массу на поверхности Земли $m_0$ и отношение $k$:

$m = \frac{{m_0}}{k}$

Теперь подставим это выражение в уравнение:

$\frac{{G \cdot M \cdot m_0}}{{(r)^2}} = \frac{{G \cdot M \cdot m_0}}{{(R + h)^2}}$

где $R$ - радиус Земли, $h$ - искомая высота.

Теперь найдем $h$ с учетом того, что масса на этой высоте уменьшится втрое:

$\frac{{1}}{{k}} = \frac{{(R + h)^2}}{{R^2}}$

Умножим обе стороны на $k \cdot R^2$:

$R^2 = k \cdot R^2 + 2 \cdot k \cdot R \cdot h + h^2$

Теперь выразим $h$:

$h^2 + 2 \cdot k \cdot R \cdot h - (1 - k) \cdot R^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $h$. Решим его, выбрав положительное значение $h$, так как расстояние (высота) не может быть отрицательным:

$h = \frac{{-2 \cdot k \cdot R + \sqrt{{(2 \cdot k \cdot R)^2 + 4 \cdot (1 - k) \cdot R^2}}}}{{2}}$

Теперь определим $k$ для случая, когда масса уменьшается втрое ($k = \frac{{1}}{{3}}$):

$h = \frac{{-2 \cdot \frac{{1}}{{3}} \cdot R + \sqrt{{(2 \cdot \frac{{1}}{{3}} \cdot R)^2 + 4 \cdot (1 - \frac{{1}}{{3}}) \cdot R^2}}}}{{2}}$

$h = \frac{{- \frac{{2}}{{3}} \cdot R + \sqrt{{\frac{{4}}{{9}} \cdot R^2 + \frac{{8}}{{3}} \cdot R^2}}}}{{2}}$

$h = \frac{{- \frac{{2}}{{3}} \cdot R + \sqrt{{\frac{{28}}{{9}} \cdot R^2}}}}{{2}}$