Question

Помогите, пожалуйста!) Точка движется по окружности радиусом R=4м. Закон ее движения выражается уравнением: s=4t^3-2,12t В какой момент времени нормальное ускорение точки равно (по модулю) тангенциальному?

Answer 1

Дано:
R = 4 м
S = 4*t³ - 2,12*t
an = ε
_________
t - ?

1)
Находим тангенциальное ускорение. Оно равно второй производной от S:
S = 4*t³ - 2,12*t
ω = (S)' = 12*t² - 2,12
ε = ω' = S'' = 24*t                                 (1)

2)

Находим нормальное ускорение:
an = ω²*R = (12*t² - 2,12)²*4               (2)

Приравниваем (1) и (2)
24*t = 4*(12*t² - 2,12)²

Решая это квадратное уравнение относительно t, находим:
t = 0,27 c

Answer 2

Для начала определим нормальное и тангенциальное ускорения точки на окружности.

Нормальное ускорение (аналог радиального ускорения) определяется как изменение направления скорости точки и всегда направлено к центру окружности. Оно вычисляется как квадрат скорости, деленный на радиус окружности:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и направлено по касательной к окружности. Оно вычисляется как производная скорости по времени:

$a_t = \frac{dv}{dt}$

Сначала найдем скорость точки. Для этого возьмем производную по времени от уравнения перемещения s:

$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d(4t^3-2.12t)}{dt}$

$v = 12t^2 - 2.12$

Теперь найдем нормальное ускорение:

$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(12t^2 - 2.12)^2}{4}$

$a_n = 36t^4 - 12.24t^2 + 2.12^2$

Теперь найдем тангенциальное ускорение:

$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d(12t^2 - 2.12)}{dt}$

$a_t = 24t$

Теперь условие задачи гласит, что нормальное ускорение должно быть равно по модулю тангенциальному ускорению. То есть:

$|a_n| = |a_t|$

$36t^4 - 12.24t^2 + 2.12^2 = 24t$

Теперь решим это уравнение. Для начала упростим его:

$36t^4 - 12.24t^2 + 2.12^2 - 24t = 0$

$9t^4 - 3.06t^2 + 2.12^2 - 6t = 0$

Теперь решим уравнение численно. Получим четыре корня для t:

$t \approx 0.521, \, t \approx -0.521, \, t \approx 0.689, \, t \approx -0.689$

У нас не может быть отрицательного времени, поэтому оставляем только положительные значения t:

$t \approx 0.521, \, t \approx 0.689$

Таким образом, нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному ускорению при примерно t = 0.521 секунды и t = 0.689 секунды.