Question

Из отверстия в дне высокого цилиндрического сосуда вытекает вода. Площадь сечения сосуда в η = 100 раз больше сечения отверстия. Найти ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Answer 1

Когда создается отверстие, вода вытекает из него с ускорением, пропорциональным площади отверстия. Чем больше площадь - тем больше ускорение. Это очевидно: На то, чтобы протолкнуть всю массу воды в маленькое отверстие требуется много силы. Это можно объяснить так: Сила давления на дно сосуда площадью сечения S равна  $\rho ghS$; Но она не "реализуется". Когда создается отверстие площадью S' именно сила  $\rho ghS'$ заставляет двигаться всю воду. Иначе говоря,  $\rho ghS'=\rho ahS$, откуда  $a= g\frac{S'}{S} = \frac{g}{\eta}$ ; что равно 10/100 = 0,1 м/с²

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения массы. Пусть уровень воды в сосуде находится на высоте h от дна. Площадь сечения отверстия обозначим как S1, а площадь сечения сосуда - как S2.

Закон сохранения массы гласит, что массовый расход воды через отверстие должен быть равен изменению массы воды внутри сосуда по времени:

массовый расход = изменение массы / изменение времени.

Массовый расход можно выразить через скорость вытекания воды из отверстия и плотность воды:

массовый расход = скорость выхода воды * плотность воды.

Известно также, что скорость выхода воды из отверстия связана с уровнем воды h по формуле Торричелли:

скорость выхода воды = sqrt(2gh),

где g - ускорение свободного падения.

Теперь можем записать уравнение закона сохранения массы:

S1 * sqrt(2gh) * плотность воды = dM/dt,

где dM/dt - изменение массы воды в сосуде по времени.

Так как площадь сечения сосуда S2 в 100 раз больше площади сечения отверстия S1 (S2 = 100 * S1), то можно выразить высоту h через скорость выхода воды из отверстия:

S2 * h * плотность воды = dM/dt.

Теперь найдем ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде, подставив в уравнение значение скорости выхода воды:

S2 * h * плотность воды = S1 * sqrt(2gh) * плотность воды.

Плотность воды сокращается:

S2 * h = S1 * sqrt(2gh).

Теперь выразим ускорение g:

g = (S2 * h / S1)^2 / (2h).

Площади S2 и S1 у нас есть в относительном виде, поэтому отношение S2/S1 равно 100. Подставим это значение:

g = (100 * h / 1)^2 / (2h) = 5000 * h.

Таким образом, ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде, равно 5000 * h, где h - высота уровня воды от дна сосуда.