Question

Сосуд объемом 10 л содержит 1 моль углекислого газа при температуре 17 по цельсию. Если давление в сосуде превысит атмосферное в 7 раз, то сосуд лопнет. Найти максимальное количество теплоты, которое можно сообщить углекислому газу, чтобы сосуд не лопнул. Атмосферное давление 100 кПа

Answer 1

Дано:

V = 10 л = 10·10⁻³ м³

υ = 1 моль

i = 5 - число степеней свободы СО₂

t₁ = 17⁰ C; T₁ = 273+17 = 290 К

p₀ = 100 кПа = 1·10⁵ Па

p₂ = 7·p₀ = 7·10⁵ Па

_______________

Q - ?

1)

Найдем первоначальное давление газа из уравнения Клапейрона-Менделеева:

p₁ ·V = υ·R·T₁

p₁ = υ·R·T₁ /V = 1·8,31·290/(10·10⁻³) ≈ 2,4·10⁵ Па (опасности взрыва нет)

2)

Найдем критическую температуру газа, при которой возможен взрыв.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

T₂ = p₂·V / (υ·R) = 7·10⁵·10·10⁻³ / (1·8,31) ≈ 842 К

3)

Изменение температуры:

ΔT = T₂ - T₁ = 842-290 = 552 К

4)

Поскольку объем не изменяется, то количество теплоты, подведенное при изохорном процессе (максимальное):

Q = υ·(i/2)·R·ΔT = 1·(5/2)·8,31·552 ≈ 11 500 Дж или 11,5 кДж

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон идеального газа:

$PV = nRT$,

где: $P$ - давление газа, $V$ - объем сосуда, $n$ - количество вещества (в данном случае, количество молей газа), $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура газа.

У нас уже есть значения некоторых параметров: $V = 10 \, \text{л} = 0.01 \, \text{м}^3$, $n = 1 \, \text{моль}$, $T = 17 \, \text{°C} = 17 + 273.15 \, \text{K} = 290.15 \, \text{K}$, $P_{\text{атм}} = 100 \, \text{кПа} = 100 \, \text{кг/м/с}^2 = 100 \, \text{Па}$.

Теперь, нам нужно найти давление, при котором сосуд лопнет (7 раз больше атмосферного давления):

$P_{\text{лоп}} = 7 \cdot 100 \, \text{Па} = 700 \, \text{Па}$.

Чтобы найти максимальное количество теплоты, которое можно сообщить газу, не допустив его лопнуть, нам нужно найти температуру газа при этом давлении. Для этого, мы можем воспользоваться законом идеального газа, но теперь нам известно $P_{\text{лоп}}$, $V$, $n$ и $R$, и мы ищем $T_{\text{лоп}}$:

$P_{\text{лоп}}V = nRT_{\text{лоп}}$,

$T_{\text{лоп}} = \frac{{P_{\text{лоп}}V}}{{nR}}$.

Теперь, когда мы знаем $T_{\text{лоп}}$, можем найти изменение температуры, которое газ может принять, чтобы не лопнуть:

$\Delta T = T_{\text{лоп}} - T$.

Наконец, чтобы найти максимальное количество теплоты $Q$, которое можно сообщить газу, мы используем уравнение:

$Q = nC\Delta T$,

где $C$ - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Удельная теплоемкость $C$ для идеального двухатомного газа (как углекислый газ) при постоянном объеме составляет:

$C = \frac{5}{2}R$.

Теперь, давайте вычислим все значения:

$T_{\text{лоп}} = \frac{{700 \, \text{Па} \cdot 0.01 \, \text{м}^3}}{{1 \, \text{моль} \cdot 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}}} \approx 83.9 \, \text{К}$,

$\Delta T = 83.9 \, \text{К} - 290.15 \, \text{К} \approx -206.25 \, \text{К}$ (отрицательное значение означает, что температура уменьшится),

$C = \frac{5}{2} \cdot 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} \approx 20.785 \, \text{Дж/(моль·К)}$,

$Q = 1 \, \text{моль} \cdot 20.785 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot (-206.25 \, \text{К}) \approx -4283.4 \, \text{Дж}$.

Ответ: Максимальное количество теплоты, которое можно сообщить углекислому газу, чтобы сосуд не лопнул, составляет примерно 4283.4 Дж (в данном случае, это количество теплоты будет поглощено газом).