Question

Небольшой камень брошенный с балкона на высоты 3 м под углом к горизонту, достиг максимальной высоты 5 м и упал обратно на землю в 28 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?

Answer 1

Дано:

$h = 3$ м

$h' = 5$ м

$L' = 28$ м

$g = 10$ м/с²

====================

Найти: $v_{min} - ?$

====================

Решение. Камень летит в двух осях: $Ox$ и $Oy$. По оси $Ox$ он летит равномерно прямолинейно, а по оси $Oy$ - равноускоренно. То есть можно считать скорость камня постоянной, если не учитывать сопротивление воздуха. Следует знать такой факт, что если кинуть одновременно два тела с одной высоты: одно - горизонтально, другое вертикально вниз с одинаковыми начальными скоростями, то они упадут одновременно. На прохождение расстояния$L$ камень проходит половину времени на достижение высоты $h_{max}$:

$h_{max} = h' - h = 5 - 3 = 2$ м;

$h_{max} = \frac{g(\frac{t_{1}}{2})^{2}}{2} \Rightarrow t_{1} = \sqrt{\frac{8h_{max}}{g}} = \sqrt{\frac{8\cdotp 2}{10}} \thickapprox 1,26$ с. То есть время на прохождение пути $L$ равно 1,26 с.

Дальше можно считать, что тело просто падает с высоты $h$:

$t_{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdotp 3}{10}} \thickapprox 0,77$ с.

То есть, всё время полёта равно $t = t_{1} + t_{2} = 1,26 + 0,77 = 2,03$ с.

Зная, что по оси $Ox$ камень движется равномерно, найдём его скорость:

$v_{min} = \frac{L'}{t} = \frac{28}{2,03} \thickapprox 13,8$ м/с

Ответ: $v_{min} \thickapprox 13,8$ м/с.

Answer 2

Для решения этой задачи, можно использовать принцип сохранения энергии и движение тела под углом. Мы знаем, что камень брошен с балкона на высоте 3 м и достиг максимальной высоты 5 м. Затем он упал обратно на землю, и горизонтальное расстояние между местом броска и точкой падения составило 28 м.

Минимальная скорость камня будет равна скорости в точке максимальной высоты, так как здесь у камня не будет вертикальной составляющей скорости. На максимальной высоте вертикальная скорость будет равна нулю.

Мы можем использовать уравнение сохранения энергии:

$\frac{1}{2} m v^2 = mgh$

где $m$ - масса камня, $v$ - его скорость, $g$ - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²), и $h$ - высота точки максимальной высоты (5 м).

Также, зная, что горизонтальное расстояние равно 28 м, мы можем записать уравнение движения по горизонтали:

$d = v_{0x} t$

где $d$ - расстояние (28 м), $v_{0x}$ - начальная горизонтальная скорость (которая равна скорости камня), и $t$ - время полета до точки падения на землю.

Из первого уравнения выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{2gh}$

Теперь найдем время полета $t$, используя второе уравнение.

$t = \frac{d}{v_{0x}}$

Мы знаем, что горизонтальная скорость остается постоянной на протяжении всего полета. Поэтому $v_{0x} = v$.

Теперь подставим все известные значения:

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} \approx 9.9 \, \text{м/с}$

$t = \frac{28}{9.9} \approx 2.83 \, \text{с}$

Таким образом, минимальная скорость камня во время полета составляет около $9.9 \, \text{м/с}$.