Question

Однородный тонкий стержень, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, свободно вращается вокруг своего конца с некоторой угловой скоростью ω0. В некоторый момент ось вытаскивают, и стержень скользит по плоскости, вращаясь. Определить угловую скорость этого вращения.

Answer 1

Выразим момент импульса стержня через момент инерции:

L = I ω, где L, ω - вектора.

Момент инерции стержня:

I₀ = ml²/3 - если ось вращения на конце (исходная ситуация),

I₁ = ml²/12 - если ось вращения в центре (так он будет вращаться после того, как вытащили ось).

Из закона сохранения момента импульса:

I₀ω₀ = I₁ω₁, тогда искомая угловая скорость ω₁ = ω₀ I₀/I₁ = 4 ω₀

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Поскольку стержень вращался вокруг своего конца до того, как ось его вытянули, момент импульса должен сохраняться во время движения по плоскости.

Изначально, момент инерции стержня вокруг его конца (который совпадает с его массовым центром) равен I₀ = (1/3) * m * L², где m - масса стержня, L - его длина.

Поскольку момент импульса J сохраняется, он остается постоянным до и после того, как ось вытаскивают:

J = I₀ * ω₀,

где ω₀ - исходная угловая скорость вращения вокруг оси.

Когда ось стержня вытаскивают, его момент инерции относительно оси вращения изменится. Для тонкого стержня, который вращается вокруг одного из своих концов, момент инерции становится I = (1/4) * m * L².

Далее, чтобы найти угловую скорость вращения после того, как ось вытянута, мы можем использовать сохранение момента импульса:

J = I * ω,

где ω - искомая угловая скорость вращения после вытаскивания оси.

Теперь объединим оба выражения для момента импульса J и приравняем их:

I₀ * ω₀ = I * ω.

Подставим значения I₀ и I:

(1/3) * m * L² * ω₀ = (1/4) * m * L² * ω.

Теперь можем сократить массу m и длину L:

(1/3) * ω₀ = (1/4) * ω.

Теперь найдем угловую скорость вращения после вытаскивания оси, выразив ω:

ω = (4/3) * ω₀.

Таким образом, угловая скорость вращения стержня после того, как ось его вытянута, будет равна (4/3) * ω₀.