Question

По тонкому проводнику, изогнутому в виде прямоугольника со сторонами 30 см и 40 см, течет ток 60 А. Определить индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Answer 1

По тонкому проводнику, изогнутому в виде прямоугольника со сторонами 30 см и 40 см....

Answer 2

Для определения индукции магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет найти магнитное поле, создаваемое током, проходящим через элемент проводника.

Формула для магнитного поля от элементарного проводника длины dl, протекающего током I, в точке наблюдения P состоит из нескольких компонентов:

dΒ = (μ₀ / 4π) * (I * dl × r) / r^3

где:

• μ₀ = 4π × 10^-7 T*m/A (магнитная постоянная)
• I - сила тока в проводнике (в Амперах)
• dl - элементарный участок проводника (длина элементарного участка)
• r - радиус-вектор из элементарного участка dl к точке P наблюдения (в метрах)
• × - операция векторного произведения

Так как прямоугольник можно разбить на множество маленьких элементарных участков dl, мы можем интегрировать эту формулу по всем элементам проводника, чтобы найти магнитное поле в точке P.

Так как у нас ток течет только по горизонтальным сторонам прямоугольника, участки проводника будут вертикальными отрезками. Векторное произведение dl × r будет указывать перпендикулярно на плоскость прямоугольника, так как радиус-вектор r и элементарный участок dl будут перпендикулярны друг другу.

С учетом всех этих особенностей, формула для магнитного поля упрощается:

dB = (μ₀ * I * dl) / (4π * r^3)

Теперь нам нужно проинтегрировать эту формулу по всем вертикальным участкам проводника.

Для удобства интегрирования, представим себе прямоугольник с координатами (0, 0), (0, 40 см), (30 см, 40 см), (30 см, 0) в плоскости XY, где текущий участок dl проводника лежит на оси X.

Пусть y будет переменной, которая охватывает диапазон от 0 до 40 см (0.4 м), тогда координаты элементарного участка dl будут (x, y).

Длина участка dl (dl) = dx, где dx - бесконечно маленький приращение по оси X.

Радиус-вектор r можно выразить как: r = √(x^2 + y^2)

Теперь мы готовы проинтегрировать формулу:

B = ∫[(μ₀ * I * dx) / (4π * r^3)] по y от 0 до 0.4 м

B = (μ₀ * I) / (4π) ∫[dx / (x^2 + y^2)^(3/2)] по y от 0 до 0.4 м

Теперь проинтегрируем это выражение:

B = (μ₀ * I) / (4π) ∫[dx / (x^2 + y^2)^(3/2)] по y от 0 до 0.4 м

B = (μ₀ * I) / (4π) [1 / x^2] * [0 до 0.4 м]

B = (μ₀ * I) / (4π * x^2) * [0.4 м]

Теперь подставим значения μ₀, I и x (здесь x равно половине длины прямоугольника, то есть 15 см или 0.15 м) и решим уравнение:

μ₀ = 4π × 10^-7 T*m/A I = 60 A x = 0.15 м

B = (4π × 10^-7 T*m/A * 60 A) / (4π * (0.15 м)^2)

B = (2.4 × 10^-5 T) / (0.0225 м^2)

B ≈ 0.00106667 T

Итак, индукция магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника составляет приблизительно 0.00107 Тесла.