Question

Пружинный маятник состоит из груза массой m=400 г. подвешенного к неподвижному штативу с помощью лёгкой пружины жёсткостью k=50 H/m. Математический маятник состоит из точно такого же груза, подвешенного к тому же штативу, но уже с помощью невесомой нерастяжимой нити. Чему равна длина этой нити, если период малых колебаний пружинного маятника в два раза меньше периода малых колебаний математического маятника? Ответ выразить в см округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/с в квадрате. Считать, что каждый из грузов совершает колебания в своей вертикальной плоскости, то есть маятники не сталкиваются.

Answer 1

Ответ: $32$ см

Объяснение:

Дано:

$m = 400$ г $= 0.4$кг

$k = 50$ Н/м

$T_{p}= \frac{T_{m} }{2}$

---------------------------------------------------

$l- ?$

Решение:

Согласно условию

$T_{p}=\frac{T_{m}}{2}$

Поэтому

$T_{m}=2T_{p}$

$2\pi \sqrt{\frac{l}{g} }=4\pi \sqrt{\frac{m}{k} }$

${\frac{l}{g} }={\frac{4m}{k} }$

$l = \frac{4mg}{k}$

$l = \frac{4*0.4*10}{50}= 0.32$ м = $32$ см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой периода колебаний математического маятника и формулой периода колебаний пружинного маятника:

Для математического маятника: $T_{\text{мат}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Для пружинного маятника: $T_{\text{пр}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Где: $T_{\text{мат}}$ - период колебаний математического маятника, $T_{\text{пр}}$ - период колебаний пружинного маятника, $L$ - длина нити математического маятника, $g$ - ускорение свободного падения, $m$ - масса груза (в данном случае для обоих маятников m = 0.4 кг), $k$ - жесткость пружины (в данном случае k = 50 H/m).

По условию задачи период колебаний пружинного маятника в два раза меньше, чем период колебаний математического маятника:

$T_{\text{пр}} = \frac{1}{2}T_{\text{мат}}$

Подставим выражения для периодов колебаний в данное равенство:

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{1}{2}\cdot2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти длину нити $L$ математического маятника:

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Далее сократим на $\pi$:

$\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{L}{g}}$

Теперь избавимся от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

$\frac{m}{k} = \frac{L}{g}$

Теперь выразим длину $L$:

$L = \frac{mg}{k}$

Подставим значения $m = 0.4 \, \text{кг}$, $g = 10 \, \text{м/с}^2$, $k = 50 \, \text{H/m}$ и рассчитаем длину $L$:

$L = \frac{0.4 \, \text{кг} \times 10 \, \text{м/с}^2}{50 \, \text{H/m}} = 0.08 \, \text{м} = 8 \, \text{см}$

Таким образом, длина нити математического маятника равна 8 см.