Question

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса вывести формулу для расчёта напряжённости поля металлического шара, заряженного зарядом q. Построить график

Answer 1

Закон Гаусса:

Поток напряженности электрического поля через произвольную поверхность, окружающую тело, равен заряду тела, умноженному на 4π.

Окружим заряженный шар сферой,  радиуса r.

Сначала положим r>R, где R - радиус шара.

Из вышеописанного закона:

$\int_{S} E dS = 4\pi q$, где интеграл берется по поверхности радиуса r.

Из симметричности задачи следует, что напряженность E в каждой точке сферы r одинакова (и направлена вдоль радиуса), то есть E=const в подинтегральм выражении. Тогда:

$E \int dS = E4\pi r^2 = 4\pi q$.

Отсюда: $E = \frac{q}{r^2}$.

Для нахождения поля внутри шара, при r<R, введем объемную плотность заряда:

$\rho = q/V = \frac{q}{4/3 \pi R^3}$.

Аналогично, найдем поток напряженности поля через сферу, радиуса r. Точно также, из симметрии, считаем E = const (на этой сфере). Тогда:

$\int_{S} E dS = E 4\pi r^2 = 4\pi q_{in}$.

Здесь, q_{in} - заряд шара, радиуса r:

$q_{in} = q V_{in}/V = q (r/R)^3$.

Подставляя в выражение для E, получим:

$E = \frac{q r}{R^3}$.

Ниже представлен график модули напряженности электрического поля для всех r.

Answer 2

Для расчета напряженности электрического поля металлического шара с зарядом q воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Эта теорема утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀.

Для сферически симметричного металлического шара заряд распределен равномерно по его поверхности. Выберем замкнутую сферическую поверхность, охватывающую весь шар. Таким образом, весь заряд q будет находиться внутри этой поверхности.

Тогда по теореме Остроградского-Гаусса:

∮E * dA = q / ε₀,

где ∮ обозначает интеграл по замкнутой поверхности, E - напряженность электрического поля, dA - элемент площади поверхности, q - заряд, ε₀ - электрическая постоянная (ε₀ ≈ 8.85 x 10⁻¹² Ф/м).

Из сферической симметрии следует, что напряженность поля E одинакова на всех элементах поверхности и перпендикулярна каждому элементу dA.

Таким образом, уравнение упрощается до:

E * 4πr² = q / ε₀,

где r - радиус металлического шара.

Теперь выразим E:

E = q / (4πε₀r²).

Таким образом, получили формулу для расчета напряженности поля металлического шара с зарядом q.

Теперь давайте построим график этой функции. Для этого выберем значения заряда q и электрической постоянной ε₀. Допустим, q = 1 Кулон и ε₀ = 8.85 x 10⁻¹² Ф/м (стандартные значения). Тогда график будет выглядеть так:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Значения заряда и электрической постоянной
q = 1  # 1 Кулон
epsilon_0 = 8.85e-12  # Ф/м

# Радиусы шара (от 1 до 10 метров)
r_values = np.linspace(1, 10, 100)

# Расчет напряженности поля E для каждого радиуса
E_values = q / (4 * np.pi * epsilon_0 * r_values ** 2)

# Построение графика
plt.plot(r_values, E_values)
plt.xlabel('Радиус (м)')
plt.ylabel('Напряженность электрического поля (Н/Кл)')
plt.title('График напряженности поля металлического шара')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике будет показано, как меняется напряженность электрического поля в металлическом шаре с изменением его радиуса.