Question

На какой высоте H от поверхности Земли ( а не от центра ) ускорение свободного падения g уменьшится в 4 раза?

Answer 1

g₀/g=4

h-?

Согласно закону всемирного тяготения

F= GmM/(R+h)²,    h- высота над Землёй

Сила тяготения равна силе тяжести  

mg= GmM/(R+h)²

отсюда

g=GM/(R+h)²  

на поверхности Земли    h=0  тогда g₀=GM/R²,

по условию

g₀/g=4

подставим g

(R+h)²/ R²=4,  

Извлечём корень, тогда

(R+h) / R=2

Найдём высоту h

R+h=2R отсюда

h=R

Ответ: h=R=6400 км

ускорение свободного падения g уменьшится в 4 раза на высоте равной радиусу Земли

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на высоте H над поверхностью Земли:

$g' = \frac{GM}{(R+H)^2},$

где:

• $G$ - гравитационная постоянная ($G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$),
• $M$ - масса Земли ($M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$),
• $R$ - радиус Земли ($R \approx 6.371 \times 10^{6} \, \text{м}$),
• $H$ - высота над поверхностью Земли.

Условие задачи утверждает, что ускорение свободного падения на высоте H уменьшится в 4 раза, то есть:

$g' = \frac{g}{4}.$

Теперь подставим известные значения и найдем H:

$\frac{GM}{(R+H)^2} = \frac{g}{4}.$

Теперь разрешим уравнение относительно H:

$H^2 + 2RH - \frac{4GM}{g} = 0.$

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся квадратным корнем:

$H = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + \frac{16GM}{g}}}{2}.$

Мы получили два возможных значения H, одно из которых будет отрицательным, что нереально в контексте этой задачи. Таким образом, реальное значение высоты H, на которой ускорение свободного падения уменьшится в 4 раза, будет:

$H = \frac{-2R + \sqrt{4R^2 + \frac{16GM}{g}}}{2}.$

Теперь подставим известные значения и решим:

$H = \frac{-2 \times 6.371 \times 10^6 + \sqrt{4 \times (6.371 \times 10^6)^2 + \frac{16 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{g}}}{2}.$

$H = \frac{-1.2742 \times 10^7 + \sqrt{1.622 \times 10^{14} + \frac{1.0639 \times 10^{14}}{g}}}{2}.$

$H = \frac{-1.2742 \times 10^7 + \sqrt{2.6859 \times 10^{14}}}{2}.$

$H = \frac{-1.2742 \times 10^7 + 5.1823 \times 10^7}{2}.$

$H = \frac{3.9081 \times 10^7}{2}.$

$H \approx 1.95405 \times 10^7 \, \text{м}.$

Таким образом, ускорение свободного падения уменьшится в 4 раза на высоте примерно 19 540 500 метров над поверхностью Земли.