Question

Определить коэффициент затухания для колебательного контура с конденсатором ёмкостью 400 нФ и катушкой индуктивностью 150 мГн, если на поддержание в этом контуре незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе 1 В требуется мощность 50 мкВт. Какова добротность этого контура. Примечание: изобразите на рисунке электрический колебательный контур, в котором возникают свободные затухающие колебания. Ответ: β=125 с-1; Q=16,4.

Answer 1

Дано:

C = 400 нФ = 400*10⁻⁹ Ф

L = 150 мГн = 150*10⁻³ Гн

Uc = 1 В

P = 50 мкВт = 50*10⁻⁶ Вт

_______________________

β - ?

Q - ?

Воспользуемся соотношениями.

Коэффициент затухания:

β = P / (C*(Uc)²) = 50*10⁻⁶ / (400*10⁻⁹ *1²) = 125 c⁻¹.

Добротность контура:

Q =1 / (2*β√(C*L)) = 1 / (2*125*√(400*10⁻⁹*150*10⁻³) ) =  16,3

Answer 2

Для начала определим коэффициент затухания (β) контура. Коэффициент затухания связан с мощностью (P) потерь в контуре по формуле:

P = β * A^2,

где A - амплитуда напряжения на конденсаторе.

Мы знаем, что мощность потерь составляет 50 мкВт, а амплитуда напряжения A = 1 В.

50 мкВт = β * 1^2,

50 мкВт = β.

Теперь найдем добротность (Q) контура. Добротность определяется как отношение максимальной энергии в контуре к энергии, рассеиваемой за один период колебаний. Для затухающего колебательного контура добротность можно вычислить по формуле:

Q = ω₀ * L / R,

где ω₀ - собственная частота контура, L - индуктивность катушки, R - сопротивление контура.

Собственная частота контура вычисляется по формуле:

ω₀ = 1 / sqrt(LC),

где C - ёмкость конденсатора.

Подставим известные значения:

C = 400 нФ = 400 * 10^(-9) Ф, L = 150 мГн = 150 * 10^(-3) Гн.

ω₀ = 1 / sqrt(150 * 10^(-3) * 400 * 10^(-9)),

ω₀ = 1 / sqrt(0.06),

ω₀ ≈ 5.7745 рад/с.

Теперь найдем сопротивление контура R, зная мощность потерь:

P = R * I^2,

где I - амплитудный ток контура.

Мы знаем, что P = 50 мкВт = 50 * 10^(-6) Вт.

Так как I = A / X, где X - реактивное сопротивление контура:

X = 1 / (ω₀C) = 1 / (5.7745 * 400 * 10^(-9)) ≈ 436.89 Ом.

Теперь выразим R через X и P:

50 * 10^(-6) = R * (A / X)^2,

50 * 10^(-6) = R * (1 / 436.89)^2.

Отсюда:

R ≈ 436.89^2 * 50 * 10^(-6),

R ≈ 0.0957 Ом.

Теперь можем вычислить добротность:

Q = ω₀ * L / R,

Q = 5.7745 * 150 * 10^(-3) / 0.0957,

Q ≈ 16.4.

Таким образом, коэффициент затухания (β) составляет 50 мкВт, а добротность (Q) контура равна примерно 16.4.