Question

К катушке индуктивности присоединили заряженный конденсатор. В цепи образовались электрические колебания. Индуктивность катушки 10 мГн, ёмкость конденсатора 40 мФ. Через какое наименьшее время после присоединения энергия магнитного поля катушки сравняется с энергией электрического поля конденсатора? Активным сопротивлением цепи пренебречь. Считать, что π = 3,14. Ответ записать в милисекундах (мс).

Answer 1

T=2*π*√(L*C)=2*3.14*√(10^-2*4*10^-2)=0.126 c

(qm*cosωt)²/(2*C)=L*(Im*sinωt)²/2   (энергии равны)

Im=qm*ω

ω²=1/(L*C)

(ω*sinωt/(cosωt))²=1/(L*C)=ω²

tg(ωt)=1

ωt=π/4

ω=2*π/T

t=T/8=0.126/8=0.0157 c    (15.7 мс)

=================================

Answer 2

Для начала определим энергию магнитного поля катушки (Wm) и энергию электрического поля конденсатора (We) в момент времени t после присоединения:

Энергия магнитного поля катушки (Wm) в момент времени t: Wm = (1/2) * L * I^2

где L - индуктивность катушки, I - ток в цепи.

Энергия электрического поля конденсатора (We) в момент времени t: We = (1/2) * C * V^2

где C - ёмкость конденсатора, V - напряжение на конденсаторе.

Находим выражение для тока в цепи (I) через напряжение на конденсаторе (V) и ёмкость конденсатора (C):

I = C * dV/dt

где dV/dt - производная напряжения на конденсаторе по времени t.

Теперь можем выразить энергии магнитного и электрического полей через напряжение на конденсаторе (V) и его производную по времени (dV/dt):

Wm = (1/2) * L * (C * dV/dt)^2 We = (1/2) * C * V^2

Теперь найдем момент времени t, когда Wm становится равной We:

(1/2) * L * (C * dV/dt)^2 = (1/2) * C * V^2

Сократим на (1/2):

L * (C * dV/dt)^2 = C * V^2

Теперь выразим dV/dt:

(C * dV/dt)^2 = V^2 / L

C * dV/dt = V / sqrt(L)

Теперь найдем dV/dt:

dV/dt = V / (C * sqrt(L))

Теперь можем найти момент времени t:

dt = dV / (dV/dt) = C * sqrt(L) * dV / V

Мы знаем, что C = 40 мФ (миллифарад), L = 10 мГн (миллигенри), и π (пи) ≈ 3,14.

Также нужно знать начальное напряжение на конденсаторе (V0). Но, поскольку нам нужно найти наименьшее время, когда энергии магнитного и электрического полей становятся равными, предположим, что начальное напряжение V0 на конденсаторе максимально возможное, то есть, когда конденсатор полностью заряжен.

V0 = Umax, где Umax - максимальное напряжение на конденсаторе.

Возьмем Umax = 1 В (например).

Теперь вычислим dt:

dt = C * sqrt(L) * dV / V = (40 мФ) * sqrt(10 мГн) * (1 В) / (1 В) = (40 * 10^-3 Ф) * sqrt(10 * 10^-3 Гн) = 0,04 * sqrt(0,01) = 0,04 * 0,1 = 0,004 сек

Ответ: dt = 4 мс (миллисекунды).