Question

Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направления x₁=4cos4t (см) и x₂=3cos(4t+π/2) (см). Найти циклическую частоту ω, амплитуду A и начальную фазу a результирующего колебания частицы.

Answer 1

Цикл. частота w=4 рад/с, амплитуда А= √(4²+3²)=5 см, нач.фаза а=arctg(3/4)≈37°

Answer 2

Для нахождения циклической частоты ω, амплитуды A и начальной фазы a результирующего колебания частицы, нужно сначала найти выражение для результирующего колебания, объединив два заданных колебания. Затем выразим из этого выражения искомые величины.

Результирующее колебание частицы будет суммой двух данных колебаний:

x = x₁ + x₂

где x₁ = 4cos(4t) (см) x₂ = 3cos(4t + π/2) (см)

Теперь заменим cos(4t + π/2) на sin(4t):

x = 4cos(4t) + 3sin(4t)

Теперь выразим амплитуду A и начальную фазу a из этого выражения:

Формула для результирующего колебания имеет вид:

x = A * cos(ωt + a)

где A - амплитуда ω - циклическая частота a - начальная фаза

Сравнивая с нашим выражением для x, получим:

A * cos(ωt + a) = 4cos(4t) + 3sin(4t)

Теперь сравним амплитуды и фазы слева и справа от равенства:

1. Амплитуда: A = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5 см

2. Фаза: Для определения начальной фазы a воспользуемся тригонометрическими тождествами. Найдем tan(a):

tan(a) = (коэффициент при sin(4t)) / (коэффициент при cos(4t)) tan(a) = 3 / 4 a = arctan(3/4) ≈ 36.87° (в радианах это будет π/180 * 36.87 ≈ 0.6435 рад)

Таким образом, результирующее колебание частицы имеет следующее выражение:

x = 5cos(4t + 0.6435) (см)

Циклическая частота ω остается равной 4 рад/с, так как она является общей для обоих исходных колебаний и не меняется при их сложении.