Question

Шар массой 5 кг и радиусом 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр, по закону φ = 2 + 40t – 5t2. Найти среднее значение момента импульса шара за промежуток времени от t = 0 до остановки. Какая работа была совершена за это время?

Answer 1

Ответ:

Lcp=0.4     A=16 Дж

Объяснение:

m=5 кг    R=0.1 м    ωo=40 рад/с  (из уравнения)   Lcp=?   A=?

===

Для шара J=0.4*m*R²

Lcp=J*ωo/2=0.4*m*R²*ωo/2=0.4*5*0.1²*40/2=0.4 кг*м²/с

A=J*ωo²/2=0.4*5*0.1²*40²/2=16 Дж

====================================

Answer 2

Для начала, давайте найдем момент импульса шара на промежутке времени от t = 0 до момента его остановки.

Момент импульса (L) тела можно вычислить по формуле:

L = I * ω,

где I - момент инерции тела относительно оси вращения, а ω - угловая скорость вращения.

Момент инерции шара относительно его оси вращения можно найти, зная его массу (m) и квадрат радиуса (r) по формуле:

I = 2/5 * m * r^2.

Из заданного закона движения шара φ = 2 + 40t - 5t^2, мы можем найти угловую скорость ω, взяв производную по времени от φ:

ω = dφ/dt = 40 - 10t.

Теперь, подставим значения массы и радиуса:

m = 5 кг, r = 0.1 м (10 см = 0.1 м).

I = 2/5 * 5 кг * (0.1 м)^2 = 2/5 * 5 кг * 0.01 м^2 = 0.02 кг * м^2.

Теперь найдем момент импульса L:

L = I * ω = 0.02 кг * м^2 * (40 - 10t).

Среднее значение момента импульса на промежутке времени от t = 0 до остановки (когда шар перестает вращаться) можно найти как среднее арифметическое между L(t=0) и L(t_stop):

Среднее L = (L(t=0) + L(t_stop)) / 2.

Когда шар останавливается, угловая скорость ω становится равной нулю, поэтому:

L(t_stop) = 0.02 кг * м^2 * (40 - 10 * t_stop) = 0.02 кг * м^2 * 40 = 0.8 кг * м^2.

Теперь нам нужно найти момент времени t_stop, когда шар останавливается. Для этого приравняем угловую скорость ω к нулю и решим уравнение:

40 - 10 * t_stop = 0, 10 * t_stop = 40, t_stop = 4 секунды.

Теперь можем найти среднее значение момента импульса:

Среднее L = (L(t=0) + L(t_stop)) / 2 = (0.02 кг * м^2 * (40 - 10 * 0) + 0.8 кг * м^2) / 2 = (0.02 кг * м^2 * 40 + 0.8 кг * м^2) / 2 = (0.8 кг * м^2 + 0.8 кг * м^2) / 2 = 1.6 кг * м^2 / 2 = 0.8 кг * м^2.

Теперь найдем работу, которая была совершена за этот промежуток времени.

Работа (W) совершается при приложении момента силы (M) к телу на определенное расстояние (θ). Формула работы:

W = M * θ.

В данном случае, момент силы M равен моменту импульса L, и мы уже знаем среднее значение момента импульса:

M = L = 0.8 кг * м^2.

Также нам нужно найти угол поворота θ. Когда шар останавливается, угловое перемещение становится равным углу поворота за всё время до остановки, т.е., φ(t_stop). Подставим значение времени t_stop = 4 секунды:

φ(t_stop) = 2 + 40 * 4 - 5 * 4^2 = 2 + 160 - 80 = 82 радиан.

Теперь можем найти работу:

W = M * θ = 0.8 кг * м^2 * 82 рад = 65.6 кг * м^2.

Таким образом, среднее значение момента импульса шара на промежутке времени от t = 0 до остановки составляет 0.8 кг * м^2, а работа, совершенная за это время, равна 65.6 кг * м^2.