Question

Деревянный шар падает с большой высоты с установившейся скоростью V0. Определите установившуюся скорость V падения железного шара такого же размера. Силу сопротивления принять пропорциональной квадрату скорости движения. Плотность железа в N раз больше плотности дерева.

Answer 1

Ответ:

$v_0 \sqrt{N}$

Объяснение:

Уравнение движения (в проекции на вертикальную ось) имеет вид $ma=mg-kv^2$

В режиме установившейся скорости ускорение равно нулю, тогда

$mg=kv^2\\\dfrac{m}{v^2}=\mathrm{const}$

Масса железного шара в $N$ раз больше массы деревянного, тогда, чтобы отношение было постоянным, установившаяся скорость железного шара должна быть в $\sqrt{N}$ раз больше скорости деревянного

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии.

Пусть V0 обозначает установившуюся скорость падения деревянного шара, а V - установившуюся скорость падения железного шара. Также обозначим массу деревянного шара как m_д и массу железного шара как m_ж.

По условию задачи, плотность железа N раз больше плотности дерева. Плотность дерева обозначим как ρ_д, а плотность железа - как ρ_ж. Тогда имеем следующее соотношение между плотностями:

ρ_ж = N * ρ_д.

Масса шара связана с его плотностью следующим образом:

m_д = (4/3) * π * R^3 * ρ_д, (1) m_ж = (4/3) * π * R^3 * ρ_ж. (2)

где R - радиус шара.

Также, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения. Мы можем записать это как:

F_сопр = k * V^2,

где F_сопр - сила сопротивления, V - скорость движения, k - коэффициент пропорциональности.

Когда скорость падения становится постоянной, сила сопротивления F_сопр и сила тяжести F_тяж равны по величине:

F_сопр = F_тяж.

Мы можем выразить силу сопротивления через массу шара и ускорение свободного падения g:

F_сопр = m_ж * g = (4/3) * π * R^3 * ρ_ж * g. (3)

Также, сила тяжести может быть выражена через массу шара и ускорение свободного падения:

F_тяж = m_д * g = (4/3) * π * R^3 * ρ_д * g. (4)

Из условия равенства силы сопротивления и силы тяжести (3 = 4) получаем:

(4/3) * π * R^3 * ρ_ж * g = (4/3) * π * R^3 * ρ_д * g.

Отсюда получаем:

ρ_ж * g = ρ_д * g.

Так как ρ_ж = N * ρ_д, то:

N * ρ_д * g = ρ_д * g.

Сокращаем на ρ_д * g и получаем:

N = 1.

Таким образом, получаем, что N = 1, что означает, что плотность железа равна плотности дерева.

Таким образом, установившаяся скорость V падения железного шара такого же размера будет равна установившейся скорости V0 падения деревянного шара.