Question

1) Горизонтально расположенный диск вращается вокруг своей оси , которая проходит через его центр и совершает 20 оборотов за минуту. На каком расстоянии от центра диска может удерживаться тело, если коэффициент трения между телом и поверхностью диска 0,08. 2) Цилиндрический вал длинной 200 см состоит из двух равных половин, одна из которых состоит из свинца а вторая из олова. Найти центр тяжести

Answer 1

Ответ:

1) R ≤ 1,176π м

2) ≈0,82 м от свинцового конца вала

Объяснение:

1) Учитывая ограниченность заданных условий, силой сопротивления воздуха и другими мелочами мы пренебрегаем.

Упрощенно имеем модель, где действуют 2 разнонаправленные силы.

Центробежная сила, перпендикулярная оси вращения и направленная от оси: Fцб.=m·ω·R, где m-масса предмета, ω-угловая скорость, R-радиус вращения.

Вызванная силой тяжести, сила трения (покоя?) направленная противоположно центробежной:

Fтр.=μ·m·g, где μ-коэффициент трения, m-масса предмета, g-ускорение свободного падения.

Для выполнения условия задачи, центробежная сила не должна превысить силу трения, поэтому получаем неравенство:

Fцб.≤Fтр. ⇒

m·ω·R ≤ μ·m·g ⇒

R ≤ μ·g÷ω

Осталось лишь преобразовать частоту вращения в угловую скорость.

ω=2·π·20/60 (2π-полный оборот в радианах, делим на 60 чтобы перевести минуты в секунды)

В итоге получаем:

R ≤ 0,08·9,8÷(2·π·20÷60)

R ≤ 1,176π м

или (R ≤≈3,694 м)

2) Имеем вал, длиной 2 метра, 1 метр-свинцовый, 1 метр -оловянный.

Масса свинцовой части m₁=11340*1*πR² (плотность свинца, умноженная на объём)

Масса оловянной части m₂=7260*1*πR².

Т.к. олово гораздо легче свинца, то центр тяжести будет сдвинут от геометрического центра вала на "свинцовую" половину.

Найдем разницу масс свинцовой и оловянной частей:

m₃=m₁-m₂=πR²(11340-7260)=4080‬·πR².

Значит центр масс будет сдвинут на половину длины свинцового участка вала с такой массой.

Найдем длину свинцового  участка с массой 4080‬·πR²:

4080‬·πR² ÷ (11340·πR²)≈0,36 м

Значит центр тяжести расположен на 0,36/2=0,18 м ближе от середины к свинцовому концу вала, или (1-0,18)=0,82 м от свинцового конца вала

Answer 2

1. Для определения максимального расстояния от центра диска, на котором может удерживаться тело, необходимо учесть равновесие моментов сил трения и центробежной силы.

Центробежная сила, действующая на тело, равна F = mω²r, где m - масса тела, ω - угловая скорость в радианах в секунду, r - расстояние от центра диска до тела.

Момент силы трения, действующей на тело, равен M = μN = μmg, где μ - коэффициент трения, N - нормальная сила, m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Для равновесия моментов сил трения и центробежной силы, M = F, получаем:

μmg = mω²r

r = μg/ω²

Подставляя значения, получаем:

r = (0,08 * 9,8) / (20²) ≈ 0,0392 м ≈ 3,92 см

Таким образом, тело может удерживаться на расстоянии около 3,92 см от центра диска.

2. Чтобы найти центр тяжести цилиндрического вала, нужно учесть массу каждой половины и их расположение относительно центра.

Пусть масса свинцовой половины вала равна m1, а масса оловянной половины вала равна m2. Обозначим расстояние от центра тяжести свинцовой половины вала до центра вала как d1, а расстояние от центра тяжести оловянной половины вала до центра вала как d2.

Центр тяжести цилиндрического вала можно найти с помощью следующей формулы:

x = (m1 * d1 + m2 * d2) / (m1 + m2)

где x - расстояние от центра вала до центра тяжести.

Поскольку половины вала равны по массе, m1 = m2, и общая масса равна m = m1 + m2.

Таким образом, формула упрощается до:

x = (m1 * d1 + m2 * d2) / (2m)

Зная значения m1, m2, d1 и d2, можно рассчитать центр тяжести вала.